NIKOLA UBAVIĆ
\English

Kompleksna sfera

Dobro je poznato da skup svih tačaka \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) koje zadovoljavaju jednačinu \[x^2+y^2-1=0\tag{1}\] čini krug (tj. jednodimenzionu sferu \(S^1\) utopljenu u \(\mathbb R^2\)) centriran u koordinatnom početku i sa poluprečnikom \(1\).

Sfera \(S^1\) bez jedne tačke \(\left(0,1\right)\) može se predstaviti i kao neprekidna slika skupa \(\mathbb R\) pri preslikavanju \[\phi^+\left(t\right)=\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{t^2-1}{1+t^2}\right)\tag{2}.\] Slično tome, sfera \(S^1\) bez tačke \(\left(0,-1\right)\) se može predstaviti kao neprekidna slika skupa \(\mathbb R\) pri preslikavanju \[\phi^-\left(t\right)=\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{t^2-1}{1+t^2}\right).\]

Zapravo, svaka konačnodimenziona sfera \(S^n\) se može na sličan način "pokriti"1 sa dva preslikavanja: \[\phi^\pm\left(t_1,\dots,t_n\right)=\frac{1}{1+t_1^2+\cdots+t_n^2}\left(2t_1,\dots,2t_n,\pm\left(-1+t_1^2+\cdots+t_n^2\right)\right).\tag{3}\]

Preslikavanja (3), odnosno njima inverzna preslikavanja \[(\phi^{\pm})^{-1}\left(x_1,...,x_{n+1}\right)=\frac{1}{1\pm x_{n+1}}\left(x_1,\dots,x_n\right),\] nazivaju se stereografske projekcije. Stereografska projekcija \(\phi^+\) je konstruisana tako da su tačka, njena slika i tačka \((0,\dots,0,1)\) kolinearne tačke, kao što je prikazano na slici 1. Stereografska projekcija \(\phi^-\) je konstruisana tako da su tačka, njena slika i tačka \((0,\dots,0,-1)\) kolinearne tačke.

Stereografska projekcija
Slika 1. Stereografska projekcija \(\phi^{+}\) sa \(S^2\) na \(\mathbb R^2\).

Vratimo se na jednačnu (1). Prirodno se nameće sledeće pitanje: Kakvu varijetu određuje polinom iz (1) u \(\mathbb C^2\)? Drugim rečima, kakav geometrijski objekat \(F\subset\mathbb C^2\) određuju nule kompleksnog polinoma \(P(z_1,z_2)=z_1^2+z^2-1.\)

Ako je \(P(z_1,z_2)=0\) za kompleksne brojeve \(z_1=x+iy\) i \(z_2=z+iw\), tada važe jednakosti \[\begin{aligned}\Re\left(z_1^2+z_2^2\right)&=1, \\ \Im\left(z_1^2+z_2^2\right) &= 0,\end{aligned}\] odnosno \[x^2-y^2+z^2-w^2=1 \\ xy+zw=0.\tag{5}\]

Iako je \(F\) podskup od \(\mathbb C^2\), možemo ga na prirodan način "videti" i kao podskup od \(\mathbb{R}^4\). Na taj način, vidimo da jednačine (5) zadaju dva nezavisna uslova za koordinate skupa \(F\) u 4-dimenzionom prostoru. Prema tome, skup \(F\) je površ2.

Kako nemamo razvijenu intuiciju za četiri dimenzije, ovu površ možemo videti samo kroz dvodimenzionalne i trodimenzionalne preseke. U nastavku ćemo odrediti preseke površi \(F\) sa trodimenzionalnim prostorom \(w=\lambda\) za \(\lambda\in \mathbb{R}\). U tom slučaju jednačine (5) postaju \[x^2-y^2+z^2=1+\lambda^2\tag{6}\] \[xy=-\lambda z.\tag{7}\] odakle vidimo da se \(F\cap\left\{w=\lambda\right\}\) nalazi u presku jednogranog hiperboloida i hiperboličkog paraboloida. Jedan takav presek je prikazan na slici 2.

Presek jednogranog i paraboličkog hiperboloida.
Slika 2. Presek jednogranog hiperboloida i hiperboličkog paraboloida.

Da bismo našli parametrizaciju ovog preseka, iz jednačine (7) možemo izraziti \(z\) kada je \(\lambda\ne 0\), odakle zamenom u jednačinu (6) dobijamo da je \(x^2+y^2\left(-1+x^2/\lambda^2\right)=1+\lambda^2\). Rešavanjem po \(y\) dobijamo da je \[y=\pm\sqrt{\frac{\lambda^2}{x^2-\lambda^2}-\lambda^2}.\] Iz jednačine (7) sledi da je \[z=\mp\sqrt{\frac{x^2}{x^2-\lambda^2}-x^2}.\] Na ovaj način smo izrazili \(y\) i \(z\) koordiante preko \(x\) koordinate, zbog čega krivu \(F\cap\left\{w=\lambda\right\}\) možemo parametrizovati na sledeći način: \[{\bold r}\left(t\right)=\left(t,\pm\sqrt{\frac{\lambda^2}{t^2-\lambda^2}-\lambda^2},\pm\sqrt{\frac{t^2}{t^2-\lambda^2}-t^2}\right).\tag{8}\]

U slučaju kada je \(\lambda=0\), jednačina (7) predstavlja uniju dve ravni, pa je je presek \(F\cap\left\{w=0\right\}\) unija kruga i hiperbole (videti sliku 3). Krug koji se nalazi u tom preseku je zapravo krug koji određuje polinom \(x^2+y^2-1\) u realnoj ravni.

Hiperbolički paraboloid u nedegenerisanom i degenerisanom slučaju.
Slika 3. Na levoj slici je prikazan hiperbolički paraboloid \(xy+zw=0\). Na desnoj slici su prikazane ravni \(x=0\) i \(y=0\).

Parametrizaciju (8) možemo iskoristiti da nađemo parametrizaciju projekcije cele površi \(F\) na trodimenzionalni prostor. Dovoljno je samo da i parametar \(\lambda\) shvatimo kao promenljivu. Na taj način dobijamo sledeću parametrizaciju3 površi \[{\bold r}\left(u,v\right)=\left(u,\pm\sqrt{\frac{v^2}{u^2-v^2}-v^2},\pm\sqrt{\frac{u^2}{u^2-v^2}-u^2}\right).\tag{9}\] Ova površ je prikazana na slici 4.

Projekcija površi F
Slika 4. Projekcija površi \(F\) na potptrostor \(w=0\).

Deo površi \(F\) možemo videti i kao grafik jedne grane kompleksne funkcije \(z_2=\sqrt{1-z_1^2}\) kako je prikazano na slici 5. Na toj slici svaka tačka \(z_1\) je obojena bojom koju ima tačka \(z_2=f(z_1)\) pri standardnom4 HSV bojenju kompleksne ravni.

Graf kompleksne funkcije
Slika 5. Grafik kompleksne funkcije \(z_2=\sqrt{1-z_1^2}\).

Na ovaj način je određena slika varijeta \(F\) pri projekciji \(\left(x,y,z,w\right)\mapsto \left(x,y,z\right)\). Zbog simetričnosti jednačina (6) i (7), jasno je da će se ista površ (do na preoznačavanje koordinata) dobiti i pri projekciji \(\left(x,y,z,w\right)\mapsto \left(x,z,w\right)\). Međutim, pri projekcijama \(\left(x,y,z,w\right)\mapsto \left(x,y,w\right)\) i \(\left(x,y,z,w\right)\mapsto \left(y,z,w\right)\) dobijaju se sasvim drugačije površi. Na primer, u prvom slučaju dobijamo parametrizaciju: \[{\bold r}\left(u,v\right)=\left(u,\pm\sqrt{v^2-\frac{v^2}{u^2-v^2}},\pm\sqrt{u^2-\frac{u^2}{u^2-v^2}}\right).\]

Za kraj, primetimo da kružnica \(S^1\) utopljena u kompleksnu ravan \(\mathbb{C}\) ne može biti nula skup ni jednog polinoma iz \(\mathbb{C}[z_1]\), iako jeste nula skup u \(\mathbb{R}^2\) polinoma iz \(\mathbb{R}[x_1,x_2]\).


  1. Osim što su preslikavanja \(\phi^{\pm}\) i njihovi inverzi neprekidni, ta preslikavanja su i glatka. Sledi da je svaka sfera \(S^n\) glatka realna mnogostrukost koja poseduje atlas od dve karte. 
  2. Pojam realne površi odgovara pojmu kompleksne krive. Dakle polinom \(x^2+y^2-1=0\) određuje kompleksnu krivu u \(\mathbb{C}^2\), baš kao što određuje realnu krivu u \(\mathbb R ^2\). 
  3. Ova parametrizacija nije pogodna za crtnaje u programima zbog računske greške koja se pravi prilikom deljenja kao i zbog neuobičajnog oblika domena (poznati programi za crtanje površi kao što su Wolphram Mathematica, GeoGebra, gnuplot, itd... ne mogu sami da prevaziđu ove probleme). 
  4. Pri ovom bojenju kompleksne ravni, tačkama se dodeljuje ton boje u zavisnosti argumenta te tačke, a nijansa tog tona (tamnije/svetlije) u zavisnosti od modula te tačke.