Geometrijska interpretacija rešenja polinoma četvrtog stepena

U ovom radu ćemo predstaviti geometrijsku interpretaciju rešenja polinoma četvrtog stepena po uzoru na rad [7]. Pre nego što iznesemo najavljeni rezultat daćemo kratak istorijski predgled rešenja kubnih i jednačina četvrtog stepena, kao i osnovnu teoriju o ravanskim algebarskim krivama.

Rešavanje polinoma III i IV stepena

Za razliku od kvadratnih jednačina koje su se uspešno rešavale još od antike, polinomske jednačine stepena većeg od dva su dugo predstavljale problem za matematičare. Tek su italijanski matematičari šesnaestog veka izložili rešenje kubne i jednačine četvrtog stepena¹. Nakon uspeha italijanskih algebrista, matematičari su krenuli u potragu za rešenjima jednačina stepena većeg od četiri. U okviru te potrage formirani su novi pristupi rešavanja jednačine trećeg i četvrtog stepena a mi ćemo u nastavku ove sekcije prikazati Lagranžova² razmatranja.

Rešavanje jednačine trećeg stepena

Bez umanjenja opštosti³, pretpostavimo da je data polinomska jednačina $$x^3+px+q=0$$(1) gde su $p$ i $q$ racionalni brojevi.

Postupak rešavanja jednačine (1) je prvi objavio Đirolamo Kardano u knjizi Ars Magna [5]. Kardanov postupak podrazumeva traženje rešenja u obliku $x=u+v$. Upoređujući jednakost $$0={(u+v)}^3-3u^{2}v-3u{v}^2-u^3-v^3={(u+v)}^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)$$ sa (1), zaključujemo da mora važiti $$uv=-\frac{p}{3}\mathrm{\text{i}}{u}^3+v^3=-q.$$ Stoga, $U=u^3$ i $V=v^3$ moraju biti koreni takozvane rešavajuće kvadratne jednačine $0=t^2-(U+V)t+UV$, odnosno $$0=t^2+qt-\frac{p^3}{27}.$$(2)

Rešavanjem (2) dobijamo $U=u^3$ i $V=v^3$, pa je rešenje jednačine (1) dato sa $x=\sqrt[3]{U}+\sqrt[3]{V}$. Međutim, kako postoje tri treća korena kompleksnog broja, izraz $x=\sqrt[3]{U}+\sqrt[3]{V}$ potencijalno predstavlja devet različitih vrednosti, što je nemoguće jer kubna jednačina ima samo tri rešenja. Međutim, vrednosti $\sqrt[3]{U}$ i $\sqrt[3]{V}$ su vezane jednakošću $\sqrt[3]{U}\sqrt[3]{V}=-\frac{p}{3}$. Dakle, sva rešenja jednačine (1) su izražena kao $x=\sqrt[3]{U}+\sqrt[3]{V}$, pri čemu jedan od korena (bilo koji) uzima sve tri vrednosti dok je drugi koren izražen iz $\sqrt[3]{U}\sqrt[3]{V}=-\frac{p}{3}$.

U radu Réflexions sur la résolution algébrique des équations [9] Lagranž je prezentovao nešto drugačiji postupak rešavanja kubne jednačine i jednačine četvrtog stepena. Lagranžova ideja je takođe formiranje rešavajućeg polinoma koji je manjeg stepena nego početna jednačina. Međutim, Lagranžov način formiranja rešavajućeg polinoma je uniforman, i na prvi pogled bi se mogao iskoristiti za više stepene⁴.

Neka su $x_1$, $x_2$ i $x_3$ različita rešenja (1), $\sigma \in {𝕊}_3$ proizvoljna permutacija ovih rešenja i neka je $\omega$ primitivni treći koren iz jedinice. Lagranževe rešavače (ili Lagranževe rezolvente) definišemo kao izraze $$⟨\omega ,\sigma ⟩=\sum _{k=1}^3{\omega }^{k-1}\sigma \left(x_k\right).$$(3) Ovim dobijamo šest različitih rešavača: $$\begin{array}{c}\hfill {\Lambda }_1=x_1+\omega x_2+{\omega }^2{x}_3,{\Lambda }_2=x_3+\omega x_1+{\omega }^2{x}_2,{\Lambda }_3=x_2+\omega x_3+{\omega }^2{x}_1,\\ \hfill {\Lambda }_4=x_1+\omega x_3+{\omega }^2{x}_2,{\Lambda }_5=x_3+\omega x_2+{\omega }^2{x}_1,{\Lambda }_6=x_2+\omega x_1+{\omega }^2{x}_3.\end{array}$$

Lagranž formira rešavajuću jednačinu kao jednačinu čiji su koreni upravo rešavači tj. $$\prod _{i=1}^6(z-{\Lambda }_i)=0.$$(4) Dobijena rešavajuća jednačina je šestog stepena, što na prvi pogled samo komplikuje traženje rešenja. Međutim, kako je $$\begin{array}{c}\hfill (z-{\Lambda }_1)(z-{\Lambda }_2)(z-{\Lambda }_3)=(z-{\Lambda }_1)(z-\omega {\Lambda }_1)(z-{\omega }^2{\Lambda }_1)=z^3-{\Lambda }_1^3,\\ \hfill (z-{\Lambda }_4)(z-{\Lambda }_5)(z-{\Lambda }_6)=(z-{\Lambda }_4)(z-\omega {\Lambda }_4)(z-{\omega }^2{\Lambda }_4)=z^3-{\Lambda }_4^3.\end{array}$$ jednačina (4) se svodi na $$(z^3-{\Lambda }_1^3)(z^3-{\Lambda }_4^3)=0$$(5) što je kvadratna jednačina po $z^3$.

Lagranž dalje primećuje da pri permutacijama korena $x_1$, $x_2$ i $x_3$ vrednosti ${\Lambda }_1^3$ i ${\Lambda }_4^3$ ostaju fiksirane ili zamenjuju mesta u zavisnosti od parnosti permutacije. Međutim, vrednosti izraza ${\Lambda }_1^3+{\Lambda }_4^3$ i ${\Lambda }_1^3{\Lambda }_4^3$ ostaju nepromenjene pa su izrazi ${\Lambda }_1^3+{\Lambda }_4^3$ i ${\Lambda }_1^3{\Lambda }_4^3$ simetrične polinomske funkcije od $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i stoga se mogu izraziti preko koeficijenata jednačine (1). I zaista, posle računa dobijamo da je $${\Lambda }_1^3+{\Lambda }_4^3=-27q\mathrm{\text{i}}{\Lambda }_1^3{\Lambda }_4^3=-27p^3.$$(6) Iz (5) dobijamo jednačinu ${\left(z^3\right)}^2+27q{z}^3-27p^3=0$ koja se smenom $z^3=27t$ svodi na (2) do koje je Kardano došao.

Nakon što su ${\Lambda }_1$ i ${\Lambda }_4$ pronađeni, možemo iskoristiti Vietovu formulu⁵ da bismo dobili linearan sistem jednačina po nepoznatama $x_1$, $x_2$ i $x_3$ $$\begin{array}{ccccccc}\hfill 0& \hfill =& x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill x_2& \hfill +\hfill & \hfill x_3,\\ \hfill {\Lambda }_1& \hfill =& x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill \omega x_2& \hfill +\hfill & \hfill {\omega }^2{x}_3,\\ \hfill {\Lambda }_4& \hfill =& x_1\hfill & \hfill +\hfill & \hfill {\omega }^2{x}_2& \hfill +\hfill & \hfill \omega x_3.\end{array}$$ Matrica koja odgovara ovom sistemu je Vandermonova matrica $W(1,\omega ,{\omega }^2)$ i njena determinanta je ${(1-\omega )}^3\ne 0$. Stoga se $x_1$, $x_2$ i $x_3$ mogu izraziti kao linearne kombinacije Lagranževih rešavača ${\Lambda }_1$ i ${\Lambda }_4$.

Rešavanje jednačine četvrtog stepena

Rešenje jednačine četvrtog stepena je takođe objavljeno u knjizi Ars Magna, i to rešenje Kardano pripisuje njegovom učeniku Ferariju.

Bez umanjenja opštosti⁶, posmatrajmo jednačinu $$x^4+p{x}^2+qx+r=0.$$(7) Prostom algebraskom manipulacijom, navedenu jednačinu možemo svesti na oblik $${(x^2+\frac{p}{2})}^2=-qx-r-\frac{p^2}{4}.$$(8) Uvedimo sada parametar $m$. Kako je $${(x^2+\frac{p}{2}+m)}^2={(x^2+\frac{p}{2})}^2+2m(x^2+\frac{p}{2})+m^2,$$ iz (8) sledi $$\begin{array}{cc}\hfill {(x^2+\frac{p}{2}+m)}^2& =-qx-r-\frac{p^2}{4}+2m(x^2+\frac{p}{2})+m^2\hfill \\ \hfill & =2m{x}^2-qx+(-r-\frac{p^2}{4}+mp+m^2).\hfill \end{array}$$(9, 10) Da bi izraz (10) bio potpuni kvadrat, neophodno je da diskriminanta navedenog kvadratnog polinoma bude nula, odnosno $$8m^3+8p{m}^2+(2p^2-8r)m-q^2=0.$$(11) Smenom $t=2m$ dobijamo $$t^3+2p{t}^2+(4r-p^2)t+q^2=0.$$(12)

Za $m$ koje je rešenje kubne jednačine (11), jednačina (9) se svodi na oblik $A^2=B^2$ gde su $A$ i $B$ kvadratni polinomi po $x$. Dalje dobijamo da mora važiti $A+B=0$ ili $A-B=0$ odakle se dobijaju rešenja jednačine (7).

Kao i slučaju jednačine trećeg stepena, Lagranžov pristup rešavanju jednačine četvrtog stepena podrazumeva formiranje rešavajuće jednačine kao polinomske jednačine čija su rešenja Lagranževi rešavači. Naravno, sada su rešavači formirani kao $⟨\omega ,\sigma ⟩={\sum }_{k=1}^4{\omega }^{k-1}\sigma \left(x_k\right)$ gde je $\sigma \in {𝕊}_4$ a $\omega$ primitivni četvrti koren iz jedinice. Sada rešavajuća jednačina ima stepen $4!=24$, ali gore opisanom tehnikom se svodi na jednačinu stepena $24/4=6$ (videti (5)). Lagranž dalje pokazuje da je dobijena jednačina bikubna, odnosno da se može svesti na kubnu jednačinu⁷.

Ipak Lagraž daje još jednu tehniku rešavanja. Umesto da već uvedenih rešavača, Lagranž koristi izraze $${\Theta }_1=x_1{x}_2+x_3{x}_4,{\Theta }_2=x_1{x}_3+x_2{x}_4,{\Theta }_3=x_1{x}_4+x_3{x}_2.$$ Pri dejstvu ${𝕊}_4$ orbita svakog rešavača je $\{{\Theta }_1,{\Theta }_2,{\Theta }_3\}$, a stabilizator grupa izomorfna ${𝔻}_4$ (na primer, za ${\Theta }_1$ to je $⟨\left(1324\right),\left(12\right)⟩$). Lagranž zatim formira rešavajuću kubiku kao $(t-{\Theta }_1)(t-{\Theta }_2)(t-{\Theta }_3)=0$ i nastavlja sa rešavanjem.

Osim navedena dva pristupa, moguće je posmatrati rešavače $$\begin{array}{cc}\hfill {\Xi }_1& =(x_1+x_2)(x_3+x_4),\hfill \\ \hfill {\Xi }_2& =(x_1+x_3)(x_2+x_4),\hfill \\ \hfill {\Xi }_3& =(x_1+x_4)(x_3+x_2).\hfill \end{array}$$(13) koji se pri dejstvu grupe ${𝕊}_4$ ponašaju poput⁸ ${\Theta }_1$, ${\Theta }_2$, ${\Theta }_3$. Rešavajuća kubika ${\prod }_i(t-{\Xi }_i)=0$ je (12). Korišćenjem Vietove formule $0=x_1+x_2+x_3+x_4$ iz (13) možemo izraziti $x_1+x_2$, $x_1+x_3$ i $x_1+x_4$, pa samim tim i korene $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$.

Projektivna geometrija i algebarske krive

U ovoj sekciji će biti iznete neke osnove projektivne i algebarkse geometrije. Za detalje, pogledati [1] ili [4]. U nastavku $𝔽$ označava polje $ℝ$ ili $ℂ$, iako se većina pojmova može preneti na sva polja.

Neka je ${𝔽}^2$ afina ravan, odnosno skup uređenih parova skalara⁹. Neka je $f\in 𝔽[X,Y]$ proizvoljan, nenula, polinom. Nula skup polinoma $f$, odnosno skup $$C_f=\{f(x,y)=0\mid (x,y)\in {𝔽}^2\},$$ nazivamo algebarskom krivom¹⁰.

Projektivna geometrija

Neka je $d$ prirodan broj. Na skupu ${𝔽}^{d+1}\backslash \{0\}$ uvedena je relacija $\sim$ sa $$𝐯\sim 𝐰\mathrm{\text{ako i samo ako postoji}}\lambda \in {𝔽}^{\times }\mathrm{\text{takvo da}}\lambda 𝐯=𝐰.$$ Lako se proverava da je relacija $\sim$ relacija ekvivalencije. Projektivni prostor dimenzije $d$, u oznaci $𝔽P^d$, je skup svih klasa ekvivalencije relacije $\sim$. Klasu ekvivalencije elementa $𝐯=(x,\dots ,x_d)$ označavamo sa $\left[𝐯\right]$ ili $[x,\dots ,x_d]$.

Projektivni potprostor u $𝔽P^d$ je svaka slika linearnog potprostora od ${𝔽}^{d+1}$ pri količničkom preslikavanju $𝐰\mapsto \left[𝐰\right]$. Ako je $L$ linearan potprostor od ${𝔽}^{d+1}$ tada za svako $𝐯\in L\backslash \{0\}$ važi $\left[𝐯\right]\subset L$ odakle sledi da je $\sim$ dobro definisano i na $L\backslash \{0\}$. Odavde sledi da su projektivni potprostori takođe projektivni prostori sami za sebe.

Afini prostor ${𝔽}^n$ možemo utopiti u projektivni prostor $𝔽P^n$ injektivnim preslikavanjem $i:{𝔽}^n\to 𝔽P^n:(x_1,\dots ,x_n)\mapsto [x_1,\dots ,x_n,1]$. Ono što ,,izostaje” iz slike utapanja $i$ je skup tačaka oblika $[{\alpha }_1,...,{\alpha }_n,0]$ gde je $\left|{\alpha }_1\right|+\cdots +\left|{\alpha }_n\right|\ne 0$. Taj skup je projektivni potprostor dimenzije $n-1$ i nazivamo ga beskonačno daleki potprostor¹¹.

Primetimo prvo da na projektivnim prostorima $ℝP^n$ i $ℂP^n$ prirodno možemo uvesti količničku topologiju.

Realnu projektivnu pravu čine sve klase oblika $[a,1]$ gde je $a\in ℝ$ zajedno sa beskonačno dalekom tačkom $[1,0]$. Nije teško uvideti da je prostor $ℝP^1$ (sa količničkom topologijom) homeomorfan jednodimenzionoj sferi $S^1$. Analogno, kompleksnu projektivnu pravu $ℂP^1$ čine sve klase oblika $[a,1]$ gde je $a\in ℂ$ zajedno sa beskonačnom dalekom tačkom $[1,0]$. Prostor $ℂP^1$ je homeomorfan dvodimemenzionoj sferi $S^2$ (takozvana Rimanova sfera).

Međutim, osim za ove dve male dimenzije, topologija (i geometrija) projektivnih prostora je nešto komplikovanija. Na primer, realna projektivna ravan je homeomorfna disku na čijem rubu je uvedena antipodalna identifikacija (videti sliku 1). Ako afinu ravan utopimo na interior diska, tada rub diska u ovom modelu predstavlja beskonačno daleku pravu.

Neka je $F\in 𝔽[X,Y,Z]$ homogen¹² polinom i $\left[𝐰\right]\in 𝔽P^2$ proizvoljno. Ako je $F\left(𝐰\right)=0$ tada je i $F\left(\lambda 𝐰\right)=0$ za svako $\lambda \in {𝔽}^{\times }$, pa je $F{|}_{\left[𝐰\right]}\equiv 0$. Stoga je dobro definisan skup $${𝒞}_F=\{\left[𝐰\right]\mid F\left(𝐰\right)=0\}\subseteq 𝔽P^2$$ kog nazivamo projektivnom krivom.

Ako je $f\in 𝔽[X,Y]$ proizvoljan polinom stepena $n$, tada je $F(X,Y,Z)=Z^{n}f(X/Z,Y/Z)$ homogen polinom stepena $n$. Za algebarsku krivu $C_f$ i za projektivnu algebarsku krivu ${𝒞}_F$ važi $$i\left(C_f\right)=i\left({𝔸}^2\right)\cap {𝒞}_F.$$ Za krivu ${𝒞}_F$ kažemo da je projektivno zatvorenje krive $C_f$.

Konike

Polinom $f\in 𝔽[X,Y]$ drugog stepena afinoj ravni određuje algebarsku krivu koju nazivamo konika. Projektivno zatvorenje konike je dato jednačinom oblika $$F(X,Y,Z)={\phi }_{11}{X}^2+{\phi }_{22}{Y}^2+{\phi }_{33}{Z}^2+{\phi }_{12}XY+{\phi }_{13}XZ+{\phi }_{23}YZ.$$(14)

Neka je $F\in ℝ[X,Y,Z]$. Ako je $F$ rastavljiv polinom (u $ℝ[X,Y,Z]$), tada je $F$ proizvod dva linearna polinoma i krivu ${𝒞}_F$ čine dve¹³ projektivne prave (koje se mogu i poklapati). Kao prave projektivne ravni, te dve prave se seku u nekoj tački $P$. Ako $P$ pripada i beskonačno dalekoj tački, tada ce $C_f$ sastoji od dve paralelne prave, u suprotnom $C_f$ čine dve konkurentne prave. Ako je $F$ rastavljiv polinom, tada ${𝒞}_F$ može biti jedinstvena tačka ili skup kog nazivamo nedegenerisana konika. Po Bezuovoj teoremi, nedegenerisana konika može da sadrži najviše dve zajedničke tačke sa beskonačno dalekom pravom. Krivu $C_f$ nazivamo elipsa, parabola ili hiperbola, u zavisnosti od toga da li ${𝒞}_F$ ima nijednu, jednu ili dve zajedničke tačke sa beskonačno dalekom pravom.

Jednakost (14) se može zapisati i u matričnom obliku kao $F\left(𝐯\right)={𝐯}^{\top }𝐀𝐯$, gde je ${𝐯}^{\top }=[X,Y,Z]$, a $$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}\hfill {\phi }_{11}\hfill & \hfill {\phi }_{12}/2\hfill & \hfill {\phi }_{13}/2\hfill \\ \hfill {\phi }_{12}/2\hfill & \hfill {\phi }_{22}\hfill & \hfill {\phi }_{23}/2\hfill \\ \hfill {\phi }_{13}/2\hfill & \hfill {\phi }_{23}/2\hfill & \hfill {\phi }_{33}\hfill \end{array}\right].$$(15)

Primetimo da je $𝐀$ singularna matrica kada je $F$ rastavljiv polinom. Zaista, ako je $F=GH$ za neke polinome $G$ i $H$ prvog stepena, tada postoji vektor $𝐰\ne 0$ takav da je $G\left(𝐰\right)=0$ pa je $F\left(𝐰\right)={𝐰}^{\top }𝐀𝐰=0$.

Svaka projektivna konika je određena jednom nenula matricom oblika (15) odnosno jednim vektorom $({\phi }_{11},{\phi }_{22},{\phi }_{33},{\phi }_{12},{\phi }_{13},{\phi }_{23})\in {𝔽}^6$. Pritom je ta identifikacija jedinstvena do na multiplikativnu konstantu. Stoga, svaku koniku možemo identifikovati sa tačkom iz $𝔽P^5$.

Po uopštenju¹⁴ spektralne teoreme, za svaku kopleksnu simetričnu matricu $𝐀$ postoji matrica $𝐁$ takva da je $𝐁𝐀{𝐁}^{\top }$ dijagonalna matrica na čijoj dijagonali se nalazi $0$ ili $1$. Stoga, u pogodnom projektivnom koordinatnom sistemu polinom $F$ ima oblik $X^2$ ili $X^2+Y^2$ ili $X^2+Y^2+Z^2$. Ako je $F=X^2$ tada je ${𝒞}_F$ (dvostruka) prava $x=0$. Ako je $F=X^2+Y^2$ tada je ${𝒞}_F$ unija dve prave $x+iy=0$ i $x-iy=0$. Ako je $F=X^2+Y^2+Z^2$ tada krivu ${𝒞}_F$ nazivamo kompleksna projektivna nedegenerisana konika.

Najzanimljiviji slučaj je svakako nedegenerisan, i tu možemo lako doći do još nekih zaključaka. Projektivnom koordinatnom smenom $U=X$, $V=iY+Z$, $W=iY-Z$ dobijamo polinom $F\prime =U^2-VW$. Stoga, bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je konika data jednačinom $x-yz=0$. Posmatrajmo sada neprekidno preslikavanje $\xi :ℂP^1\to {𝒞}_F$ dato sa $\xi [a,b]=[ab,a^2,b^2]$. Preslikavanje $\xi$ je bijekcija, a jasno je da je i inverzno preslikavanje ${\xi }^{-1}:{𝒞}_F\to ℂP^1$ neprekidno. Odavde sledi da je konika ${𝒞}_F$ homeomorfna kompleksnoj projektivnoj pravi, odnosno dvodimenzionoj sferi¹⁵.

Ako projektivna konika data jednačinom (14) prolazi kroz tačku $[x,y,z]$, tada važi $$0={\phi }_{11}{x}^2+{\phi }_{22}{y}^2+{\phi }_{33}{z}^2+{\phi }_{12}xy+{\phi }_{13}xz+{\phi }_{23}yz,$$ što predstavlja linearnu jednačinu po ${\phi }_{11},{\phi }_{22},{\phi }_{33},{\phi }_{12},{\phi }_{13},{\phi }_{23}$. Navedena linearna jednačina određuje jedan projektivni potprostor kodimenzije $1$ u $𝔽P^5$.

Ako projektivna konika data jednačinom (14) prolazi kroz tačke $P_1,P_2,P_3,P_4$ tada će promenljive ${\phi }_{11},{\phi }_{22},{\phi }_{33},{\phi }_{12},{\phi }_{13},{\phi }_{23}$ biti vezane homogenim sistemom od četiri jednačine. Ako su te četiri jednačine linearno nezavisne, tada će prostor rešenja biti dvodimenzioni linearni potprostor od ${𝔽}^6$ koji pri projektivizaciji određuje projektivnu pravu u $𝔽P^5$. Ova projektivna prava određuje jedan pramen¹⁶ konika kog ćemo označavati sa $\Pi =\Pi (P_1,P_2,P_3,P_4)$ (videti sliku 2).

Ova razmišljanja ćemo konkretizovati kroz narednu teoremu

Teorema 1. Familija konika koje sadrže četiri različite tačke $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ je $ℂP^1$ ako i samo ako su tačke $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ nekolinearne.

Dokaz. Pretpostavimo da su $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ kolinearne tačke. Neka je $l$ prava koja ih sadrži, i neka je $l\prime$ proizvoljna prava. Tada je $l\cup l\prime$ degenerisana konika koja sadrži $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$. Kako je $l\prime$ proizvoljna prava, familija konika je dvodimenziona.

Obrnuto, pretpostavimo da su date tačke nekolinearne. Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da su $P_1$, $P_2$ i $P_3$ nekolinearne. Dovoljno je pokazati da postoji konika koja sadrži tačke $P_1,\dots ,P_n$ a ne sadrži tačke $P_{n+1},\dots ,P_4$ za $n=1,2,3$.

Slučaj $n=1$: Neka su $l$ i $l\prime$ proizvoljne prave koje prolaze kroz $P_1$ a ne prolaze kroz $P_2$, $P_3$ i $P_4$. Tada je $p\cup p\prime$ konika sa traženim osobinama.

Slučaj $n=2$: Neka je $l$ proizvoljna prava koja prolazi kroz $P_1$ a ne prolazi kroz $P_3$ i $P_4$. Neka je $l\prime$ proizvoljna prava koja prolazi kroz $P_2$ a ne prolazi kroz $P_3$ i $P_4$. Tada je $p\cup p\prime$ konika sa traženim osobinama.

Slučaj $n=3$: Pretpostavimo prvo da su $P_1$, $P_2$ i $P_4$ nekolinearne. Neka je $p$ prava kroz $P_1$ i $P_2$. Neka je $p\prime$ proizvoljna prava kroz $P_3$ koja ne prolazi kroz $P_4$. Tada je $p\cup p\prime$ konika sa traženim osobinama. Ako su $P_1$, $P_2$ i $P_4$ kolinearne, za $l$ uzmimo pravu kroz $P_1$ i $P_4$ a za $l\prime$ uzmimo pravu kroz $P_1$ i $P_3$. Opet je $p\cup p\prime$ konika sa traženim osobinama. ◻

Jedan od najpoznatijih rezultata algebarske geometrije je Bezuova teorema. Klasično formulisana kao nejednakost, u modernoj geometriji je dobila naredni, jači, oblik.

Teorema 2. Neka je $𝔽$ algebarski zatvoreno polje i neka su polinomi $F,G\in 𝔽[X,Y,Z]$ uzajamno prosti. Tada je broj presečnih tačaka (računajući višestrukosti) projektivnih algebarskih krivih ${𝒞}_F$ i ${𝒞}_G$ jednak $degF\cdot degG$.

Dokaz ove teoreme je van domašaja ovog rada. Zbog toga ćemo se zadovoljiti narednim rezultatom koji se može direktno dokazati¹⁷.

Posledica 1. Broj presečnih tačaka dve konike u $ℂP^2$ je 4.

Geometrija rešenja polinoma IV stepena

Posmatrajmo redukovanu jednačinu četvrtog stepena $$x^4+p{x}^2+qx+r=0$$ gde $p,q,r\in \mathbb{Q}$. Shvatajući koeficijente $p,q,r$ kao kompleksne vrednosti, vidimo da su rešenja navedene jednačine $x$-koordinate presečnih tačaka afinih konika $$\begin{array}{cc}\hfill & C_1:y^2+py+qx+r=0\hfill \\ \hfill & C_2:y-x^2=0\hfill \end{array}$$

Projektivna zatvorenja krivih $C_1$ i $C_2$ su konike definisane polinomima $$\begin{array}{cc}\hfill & F_1(X,Y,Z)=Y^2+pYZ+qXZ+r{Z}^2\hfill \\ \hfill & F_2(X,Y,Z)=YZ-X^2\hfill \end{array}$$ Na osnovu Bezuove teoreme, konike ${𝒞}_1$ i ${𝒞}_2$ se seku u četiri tačke $P_1,P_2,P_3,P_4$, koje pripadaju afinoj ravni. Kako ove četiri tačke leže na paraboli, one ne mogu biti kolinearne. Po razmatranjima iz prethodne sekcije znamo da je familija konika koje prolaze kroz tačke $P_1,P_2,P_3,P_4$ određena svim tačkama jedne projektivne prave iz $ℂP^5$ koja je ,,razapeta polinomima“ $F_1$ i $F_2$. Sledi da je svaka konika iz ove familije predstavljena polinomom oblika $$\lambda F_1+\mu F_2,$$(16) gde $\left|\mu \right|+\left|\nu \right|\ne 0$. Matrična reprezentacija polinoma $\lambda F_1+\mu F_2$ je $$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}\hfill -\mu \hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \frac{q\lambda }{2}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \lambda \hfill & \hfill \frac{p\lambda +\mu }{2}\hfill \\ \hfill \frac{q\lambda }{2}\hfill & \hfill \frac{p\lambda +\mu }{2}\hfill & \hfill r\lambda \hfill \end{array}\right].$$

Matrica $𝐀$ je singularna ako je $$det\left(𝐀\right)=\frac{1}{4}({\mu }^3-q^2{\lambda }^3+(p^2-4r){\lambda }^2\mu +2p\lambda {\mu }^2)=0.$$(17) Deljenjem¹⁸ (17) sa ${\lambda }^3/4$ dobijamo kubnu jednačinu po promenljivoj $\epsilon =\mu /\lambda$: $$\begin{array}{c}\hfill {\epsilon }^3-2p{\epsilon }^2+(p^2-4r)\epsilon -q^2=0.\end{array}$$(18) Tri rešenja ove jednačine odgovaraju trima singularnim konikama u familiji $\Pi$.

Singularne konike iz familije $\Pi$ su tačno $Q_1=L_{12}\cup L_{34}$, $Q_2=L_{13}\cup L_{24}$ i $Q_3=L_{14}\cup L_{23}$, gde je $L_{ij}$ prava koja prolazi kroz tačke $P_i$ i $P_j$. Prava $L_{ij}$ je (u afinoj ravni) određena polinomom $$Y-(x_i+x_j)X+x_i{x}_j=0.$$ te su konike $Q_1$, $Q_2$ i $Q_2$ određene polinomima $$\begin{array}{cc}\hfill q_1& =(Y-(x_1+x_2)X+x_1{x}_2)(Y-(x_3+x_4)X+x_3{x}_4)\hfill \\ \hfill & =Y^2+(x_1{x}_2+x_3{x}_4)Y+(x_1+x_2)(x_3+x_4)X^2+qX+r\hfill \\ \hfill & =F_1-(x_1+x_2)(x_3+x_4)F_2\hfill \end{array}$$(19) $$q_2=F_1-(x_1+x_3)(x_2+x_4)F_2$$(20) $$q_3=F_1-(x_1+x_4)(x_2+x_3)F_2$$(21)

Upoređivajući (19), (20), (21) sa (16) zaključujemo da su rešenja jednačine (18) ${\epsilon }_1=-(x_1+x_2)(x_3+x_4)$, ${\epsilon }_2=-(x_1+x_3)(x_2+x_4)$ i ${\epsilon }_3=-(x_1+x_4)(x_2+x_3)$ što su rešavači (13) pomnoženi sa $-1$.

Vidimo da rešavanje rešavajuće kubike odgovara traženju degenerisanih kubika u pramenu $\Pi$. Kada su poznate barem dve od tri degenerisane kubike, tada se rešenja originalne jednačine mogu jednostavno dobiti kao abscise presečnih tačaka nađenih konika.

Zaključak

Geometrijsko rešavanje algebarskih jednačina nije nova stvar. Štaviše, značajno pre Kardana i Ferarija matematičari su rešavali probleme pomoću algebarskih krivih. Najpoznatiji je svakako rad arapskog matematičara Omara Hajama koji je geometrijski rešio jednačinu trećeg stepena pomoću konika.

U ovom radu je prikazano rešavanje jednačine četvrtog stepena idejom koja je veoma bliska idejama Hajama i drugih, ali smo ipak morali upotrebiti moderne tehnike (npr. analitičku projektivnu geometriju).

U radu smo se kratko na Lagranževe i druge rešavače i dali smo im jednu geometrijsku interpretaciju¹⁹. Pokazali smo da do rešavača i rešavajuće kubike može doći i gemetrisjki, bez potrebe za Ferarijevim postupkom ili teorijom Galoa.

Liteartura

1. Andrejić, V. 2016. Projektivna geometrija ravni. 2016.
2. Bewersdorff, J. 2021. Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective, Second Edition. Student Mathematical Library. American Mathematical Society.
3. Blumenthal, Leonard M. 1927. Lagrange Resolvents in Euclidean Geometry. American Journal of Mathematics 49 (4): 511–22.
4. Brieskorn, E., H. Knörrer, i J. Stillwell. 2012. Plane Algebraic Curves. Translated by John Stillwell. Modern Birkhäuser Classics. Springer Basel.
5. Cardano, G., i T. R. Witmer. 1993. Ars Magna Or The Rules of Algebra. Dover Books on Mathematics. Dover.
6. Dehn, E. 1930. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois. Dover books on advanced mathematics. Columbia University Press.
7. Faucette, William M. 1996. A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial. The American Mathematical Monthly 103 (1): 51–57.
8. Horn, R. A., i C. R. Johnson. 2012. Matrix Analysis. Cambridge University Press.
9. Lagrange, J. L. de. 1770. Réflexions sur la résolution algébrique des équations.
10. Waerden, B. L. van der. 2013. A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether. Springer Berlin Heidelberg.