NIKOLA UBAVIĆ
Izgleda da vaš pretraživač ne podržava MathML tehnologiju, zbog čega matematički izrazi na ovoj stranici mogu biti neispravno prikazani.
U slučaju da imate problema s matematičkim izrazima, otvorite ovu stranicu u pretraživaču koju podržava MathML tehnologiju kao što su Mozilla Firefox i Safari.

Geometrijska interpretacija rešenja polinoma četvrtog stepena

U ovom radu ćemo predstaviti geometrijsku interpretaciju rešenja polinoma četvrtog stepena po uzoru na rad [7]. Pre nego što iznesemo najavljeni rezultat daćemo kratak istorijski predgled rešenja kubnih i jednačina četvrtog stepena, kao i osnovnu teoriju o ravanskim algebarskim krivama.

Rešavanje polinoma III i IV stepena

Za razliku od kvadratnih jednačina koje su se uspešno rešavale još od antike, polinomske jednačine stepena većeg od dva su dugo predstavljale problem za matematičare. Tek su italijanski matematičari šesnaestog veka izložili rešenje kubne i jednačine četvrtog stepena1. Nakon uspeha italijanskih algebrista, matematičari su krenuli u potragu za rešenjima jednačina stepena većeg od četiri. U okviru te potrage formirani su novi pristupi rešavanja jednačine trećeg i četvrtog stepena a mi ćemo u nastavku ove sekcije prikazati Lagranžova2 razmatranja.

Rešavanje jednačine trećeg stepena

Bez umanjenja opštosti3, pretpostavimo da je data polinomska jednačina x3+px+q=0(1) gde su p i q racionalni brojevi.

Postupak rešavanja jednačine (1) je prvi objavio Đirolamo Kardano u knjizi Ars Magna [5]. Kardanov postupak podrazumeva traženje rešenja u obliku x=u+v. Upoređujući jednakost 0=(u+v)33u2v3uv2u3v3=(u+v)23uv(u+v)(u3+v3) sa (1), zaključujemo da mora važiti uv=p3iu3+v3=q. Stoga, U=u3 i V=v3 moraju biti koreni takozvane rešavajuće kvadratne jednačine 0=t2(U+V)t+UV, odnosno 0=t2+qtp327.(2)

Rešavanjem (2) dobijamo U=u3 i V=v3, pa je rešenje jednačine (1) dato sa x=U3+V3. Međutim, kako postoje tri treća korena kompleksnog broja, izraz x=U3+V3 potencijalno predstavlja devet različitih vrednosti, što je nemoguće jer kubna jednačina ima samo tri rešenja. Međutim, vrednosti U3 i V3 su vezane jednakošću U3V3=p3. Dakle, sva rešenja jednačine (1) su izražena kao x=U3+V3, pri čemu jedan od korena (bilo koji) uzima sve tri vrednosti dok je drugi koren izražen iz U3V3=p3.

U radu Réflexions sur la résolution algébrique des équations [9] Lagranž je prezentovao nešto drugačiji postupak rešavanja kubne jednačine i jednačine četvrtog stepena. Lagranžova ideja je takođe formiranje rešavajućeg polinoma koji je manjeg stepena nego početna jednačina. Međutim, Lagranžov način formiranja rešavajućeg polinoma je uniforman, i na prvi pogled bi se mogao iskoristiti za više stepene4.

Neka su x1, x2 i x3 različita rešenja (1), σ𝕊3 proizvoljna permutacija ovih rešenja i neka je ω primitivni treći koren iz jedinice. Lagranževe rešavače (ili Lagranževe rezolvente) definišemo kao izraze ω,σ=k=13ωk1σ(xk).(3) Ovim dobijamo šest različitih rešavača: Λ1=x1+ωx2+ω2x3,Λ2=x3+ωx1+ω2x2,Λ3=x2+ωx3+ω2x1,Λ4=x1+ωx3+ω2x2,Λ5=x3+ωx2+ω2x1,Λ6=x2+ωx1+ω2x3.

Lagranž formira rešavajuću jednačinu kao jednačinu čiji su koreni upravo rešavači tj. i=16(zΛi)=0.(4) Dobijena rešavajuća jednačina je šestog stepena, što na prvi pogled samo komplikuje traženje rešenja. Međutim, kako je (zΛ1)(zΛ2)(zΛ3)=(zΛ1)(zωΛ1)(zω2Λ1)=z3Λ13,(zΛ4)(zΛ5)(zΛ6)=(zΛ4)(zωΛ4)(zω2Λ4)=z3Λ43. jednačina (4) se svodi na (z3Λ13)(z3Λ43)=0(5) što je kvadratna jednačina po z3.

Lagranž dalje primećuje da pri permutacijama korena x1, x2 i x3 vrednosti Λ13 i Λ43 ostaju fiksirane ili zamenjuju mesta u zavisnosti od parnosti permutacije. Međutim, vrednosti izraza Λ13+Λ43 i Λ13Λ43 ostaju nepromenjene pa su izrazi Λ13+Λ43 i Λ13Λ43 simetrične polinomske funkcije od x1, x2 i x3, i stoga se mogu izraziti preko koeficijenata jednačine (1). I zaista, posle računa dobijamo da je Λ13+Λ43=27qiΛ13Λ43=27p3.(6) Iz (5) dobijamo jednačinu (z3)2+27qz327p3=0 koja se smenom z3=27t svodi na (2) do koje je Kardano došao.

Nakon što su Λ1 i Λ4 pronađeni, možemo iskoristiti Vietovu formulu5 da bismo dobili linearan sistem jednačina po nepoznatama x1, x2 i x3 0=x1+x2+x3,Λ1=x1+ωx2+ω2x3,Λ4=x1+ω2x2+ωx3. Matrica koja odgovara ovom sistemu je Vandermonova matrica W(1,ω,ω2) i njena determinanta je (1ω)30. Stoga se x1, x2 i x3 mogu izraziti kao linearne kombinacije Lagranževih rešavača Λ1 i Λ4.

Rešavanje jednačine četvrtog stepena

Rešenje jednačine četvrtog stepena je takođe objavljeno u knjizi Ars Magna, i to rešenje Kardano pripisuje njegovom učeniku Ferariju.

Bez umanjenja opštosti6, posmatrajmo jednačinu x4+px2+qx+r=0.(7) Prostom algebraskom manipulacijom, navedenu jednačinu možemo svesti na oblik (x2+p2)2=qxrp24.(8) Uvedimo sada parametar m. Kako je (x2+p2+m)2=(x2+p2)2+2m(x2+p2)+m2, iz (8) sledi (x2+p2+m)2=qxrp24+2m(x2+p2)+m2=2mx2qx+(rp24+mp+m2).(9, 10) Da bi izraz (10) bio potpuni kvadrat, neophodno je da diskriminanta navedenog kvadratnog polinoma bude nula, odnosno 8m3+8pm2+(2p28r)mq2=0.(11) Smenom t=2m dobijamo t3+2pt2+(4rp2)t+q2=0.(12)

Za m koje je rešenje kubne jednačine (11), jednačina (9) se svodi na oblik A2=B2 gde su A i B kvadratni polinomi po x. Dalje dobijamo da mora važiti A+B=0 ili AB=0 odakle se dobijaju rešenja jednačine (7).

Kao i slučaju jednačine trećeg stepena, Lagranžov pristup rešavanju jednačine četvrtog stepena podrazumeva formiranje rešavajuće jednačine kao polinomske jednačine čija su rešenja Lagranževi rešavači. Naravno, sada su rešavači formirani kao ω,σ=k=14ωk1σ(xk) gde je σ𝕊4 a ω primitivni četvrti koren iz jedinice. Sada rešavajuća jednačina ima stepen 4!=24, ali gore opisanom tehnikom se svodi na jednačinu stepena 24/4=6 (videti (5)). Lagranž dalje pokazuje da je dobijena jednačina bikubna, odnosno da se može svesti na kubnu jednačinu7.

Ipak Lagraž daje još jednu tehniku rešavanja. Umesto da već uvedenih rešavača, Lagranž koristi izraze Θ1=x1x2+x3x4,Θ2=x1x3+x2x4,Θ3=x1x4+x3x2. Pri dejstvu 𝕊4 orbita svakog rešavača je {Θ1,Θ2,Θ3}, a stabilizator grupa izomorfna 𝔻4 (na primer, za Θ1 to je (1324),(12)). Lagranž zatim formira rešavajuću kubiku kao (tΘ1)(tΘ2)(tΘ3)=0 i nastavlja sa rešavanjem.

Osim navedena dva pristupa, moguće je posmatrati rešavače Ξ1=(x1+x2)(x3+x4),Ξ2=(x1+x3)(x2+x4),Ξ3=(x1+x4)(x3+x2).(13) koji se pri dejstvu grupe 𝕊4 ponašaju poput8 Θ1, Θ2, Θ3. Rešavajuća kubika i(tΞi)=0 je (12). Korišćenjem Vietove formule 0=x1+x2+x3+x4 iz (13) možemo izraziti x1+x2, x1+x3 i x1+x4, pa samim tim i korene x1, x2, x3, x4.

Projektivna geometrija i algebarske krive

U ovoj sekciji će biti iznete neke osnove projektivne i algebarkse geometrije. Za detalje, pogledati [1] ili [4]. U nastavku 𝔽 označava polje ili , iako se većina pojmova može preneti na sva polja.

Neka je 𝔽2 afina ravan, odnosno skup uređenih parova skalara9. Neka je f𝔽[X,Y] proizvoljan, nenula, polinom. Nula skup polinoma f, odnosno skup Cf={f(x,y)=0(x,y)𝔽2}, nazivamo algebarskom krivom10.

Projektivna geometrija

Neka je d prirodan broj. Na skupu 𝔽d+1\{0} uvedena je relacija sa 𝐯𝐰 ako i samo ako postoji λ𝔽× takvo da λ𝐯=𝐰. Lako se proverava da je relacija relacija ekvivalencije. Projektivni prostor dimenzije d, u oznaci 𝔽Pd, je skup svih klasa ekvivalencije relacije . Klasu ekvivalencije elementa 𝐯=(x,,xd) označavamo sa [𝐯] ili [x,,xd].

Projektivni potprostor u 𝔽Pd je svaka slika linearnog potprostora od 𝔽d+1 pri količničkom preslikavanju 𝐰[𝐰]. Ako je L linearan potprostor od 𝔽d+1 tada za svako 𝐯L\{0} važi [𝐯]L odakle sledi da je dobro definisano i na L\{0}. Odavde sledi da su projektivni potprostori takođe projektivni prostori sami za sebe.

Afini prostor 𝔽n možemo utopiti u projektivni prostor 𝔽Pn injektivnim preslikavanjem i:𝔽n𝔽Pn:(x1,,xn)[x1,,xn,1]. Ono što ,,izostaje” iz slike utapanja i je skup tačaka oblika [α1,...,αn,0] gde je |α1|++|αn|0. Taj skup je projektivni potprostor dimenzije n1 i nazivamo ga beskonačno daleki potprostor11.

Primetimo prvo da na projektivnim prostorima Pn i Pn prirodno možemo uvesti količničku topologiju.

Realnu projektivnu pravu čine sve klase oblika [a,1] gde je a zajedno sa beskonačno dalekom tačkom [1,0]. Nije teško uvideti da je prostor P1 (sa količničkom topologijom) homeomorfan jednodimenzionoj sferi S1. Analogno, kompleksnu projektivnu pravu P1 čine sve klase oblika [a,1] gde je a zajedno sa beskonačnom dalekom tačkom [1,0]. Prostor P1 je homeomorfan dvodimemenzionoj sferi S2 (takozvana Rimanova sfera).

Međutim, osim za ove dve male dimenzije, topologija (i geometrija) projektivnih prostora je nešto komplikovanija. Na primer, realna projektivna ravan je homeomorfna disku na čijem rubu je uvedena antipodalna identifikacija (videti sliku 1). Ako afinu ravan utopimo na interior diska, tada rub diska u ovom modelu predstavlja beskonačno daleku pravu.

Slika 1. Tri projektivna prostora. Crvenom bojom su istaknuti beskonačno daleke tačke i prava.

Neka je F𝔽[X,Y,Z] homogen12 polinom i [𝐰]𝔽P2 proizvoljno. Ako je F(𝐰)=0 tada je i F(λ𝐰)=0 za svako λ𝔽×, pa je F|[𝐰]0. Stoga je dobro definisan skup 𝒞F={[𝐰]F(𝐰)=0}𝔽P2 kog nazivamo projektivnom krivom.

Ako je f𝔽[X,Y] proizvoljan polinom stepena n, tada je F(X,Y,Z)=Znf(X/Z,Y/Z) homogen polinom stepena n. Za algebarsku krivu Cf i za projektivnu algebarsku krivu 𝒞F važi i(Cf)=i(𝔸2)𝒞F. Za krivu 𝒞F kažemo da je projektivno zatvorenje krive Cf.

Konike

Polinom f𝔽[X,Y] drugog stepena afinoj ravni određuje algebarsku krivu koju nazivamo konika. Projektivno zatvorenje konike je dato jednačinom oblika F(X,Y,Z)=φ11X2+φ22Y2+φ33Z2+φ12XY+φ13XZ+φ23YZ.(14)

Slika 2. Afinu ravan možemo preslikati na unutrašnjost tako što ravan projektujemo na poluloptu, a zatim poluloptu ortogonalno projektujemo na disk. Kao što smo već naveli, disk sa antipodalnom identifikacijom rubnih tačaka predstavlja topološki model realne projektivne ravni. Na slici je prikazano i preslikavanje parabole. Njeno projektivno zatvorenje 𝒞 dodiruje beskonačno daleku pravu (rub disk modela) u jednoj tački.

Neka je F[X,Y,Z]. Ako je F rastavljiv polinom (u [X,Y,Z]), tada je F proizvod dva linearna polinoma i krivu 𝒞F čine dve13 projektivne prave (koje se mogu i poklapati). Kao prave projektivne ravni, te dve prave se seku u nekoj tački P. Ako P pripada i beskonačno dalekoj tački, tada ce Cf sastoji od dve paralelne prave, u suprotnom Cf čine dve konkurentne prave. Ako je F rastavljiv polinom, tada 𝒞F može biti jedinstvena tačka ili skup kog nazivamo nedegenerisana konika. Po Bezuovoj teoremi, nedegenerisana konika može da sadrži najviše dve zajedničke tačke sa beskonačno dalekom pravom. Krivu Cf nazivamo elipsa, parabola ili hiperbola, u zavisnosti od toga da li 𝒞F ima nijednu, jednu ili dve zajedničke tačke sa beskonačno dalekom pravom.

Slika 3. Projektivnim transformacijama elipsu možemo transformisati do parabole a zatim i hiperbole.

Jednakost (14) se može zapisati i u matričnom obliku kao F(𝐯)=𝐯𝐀𝐯, gde je 𝐯=[X,Y,Z], a 𝐀=[φ11φ12/2φ13/2φ12/2φ22φ23/2φ13/2φ23/2φ33].(15)

Primetimo da je 𝐀 singularna matrica kada je F rastavljiv polinom. Zaista, ako je F=GH za neke polinome G i H prvog stepena, tada postoji vektor 𝐰0 takav da je G(𝐰)=0 pa je F(𝐰)=𝐰𝐀𝐰=0.

Svaka projektivna konika je određena jednom nenula matricom oblika (15) odnosno jednim vektorom (φ11,φ22,φ33,φ12,φ13,φ23)𝔽6. Pritom je ta identifikacija jedinstvena do na multiplikativnu konstantu. Stoga, svaku koniku možemo identifikovati sa tačkom iz 𝔽P5.

Po uopštenju14 spektralne teoreme, za svaku kopleksnu simetričnu matricu 𝐀 postoji matrica 𝐁 takva da je 𝐁𝐀𝐁 dijagonalna matrica na čijoj dijagonali se nalazi 0 ili 1. Stoga, u pogodnom projektivnom koordinatnom sistemu polinom F ima oblik X2 ili X2+Y2 ili X2+Y2+Z2. Ako je F=X2 tada je 𝒞F (dvostruka) prava x=0. Ako je F=X2+Y2 tada je 𝒞F unija dve prave x+iy=0 i xiy=0. Ako je F=X2+Y2+Z2 tada krivu 𝒞F nazivamo kompleksna projektivna nedegenerisana konika.

Najzanimljiviji slučaj je svakako nedegenerisan, i tu možemo lako doći do još nekih zaključaka. Projektivnom koordinatnom smenom U=X, V=iY+Z, W=iYZ dobijamo polinom F=U2VW. Stoga, bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je konika data jednačinom xyz=0. Posmatrajmo sada neprekidno preslikavanje ξ:P1𝒞F dato sa ξ[a,b]=[ab,a2,b2]. Preslikavanje ξ je bijekcija, a jasno je da je i inverzno preslikavanje ξ1:𝒞FP1 neprekidno. Odavde sledi da je konika 𝒞F homeomorfna kompleksnoj projektivnoj pravi, odnosno dvodimenzionoj sferi15.

Ako projektivna konika data jednačinom (14) prolazi kroz tačku [x,y,z], tada važi 0=φ11x2+φ22y2+φ33z2+φ12xy+φ13xz+φ23yz, što predstavlja linearnu jednačinu po φ11,φ22,φ33,φ12,φ13,φ23. Navedena linearna jednačina određuje jedan projektivni potprostor kodimenzije 1 u 𝔽P5.

Ako projektivna konika data jednačinom (14) prolazi kroz tačke P1,P2,P3,P4 tada će promenljive φ11,φ22,φ33,φ12,φ13,φ23 biti vezane homogenim sistemom od četiri jednačine. Ako su te četiri jednačine linearno nezavisne, tada će prostor rešenja biti dvodimenzioni linearni potprostor od 𝔽6 koji pri projektivizaciji određuje projektivnu pravu u 𝔽P5. Ova projektivna prava određuje jedan pramen16 konika kog ćemo označavati sa Π=Π(P1,P2,P3,P4) (videti sliku 2).

Ova razmišljanja ćemo konkretizovati kroz narednu teoremu

Teorema 1. Familija konika koje sadrže četiri različite tačke P1, P2, P3, P4 je P1 ako i samo ako su tačke P1, P2, P3, P4 nekolinearne.

Dokaz. Pretpostavimo da su P1, P2, P3, P4 kolinearne tačke. Neka je l prava koja ih sadrži, i neka je l proizvoljna prava. Tada je ll degenerisana konika koja sadrži P1, P2, P3, P4. Kako je l proizvoljna prava, familija konika je dvodimenziona.

Obrnuto, pretpostavimo da su date tačke nekolinearne. Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da su P1, P2 i P3 nekolinearne. Dovoljno je pokazati da postoji konika koja sadrži tačke P1,,Pn a ne sadrži tačke Pn+1,,P4 za n=1,2,3.

Slučaj n=1: Neka su l i l proizvoljne prave koje prolaze kroz P1 a ne prolaze kroz P2, P3 i P4. Tada je pp konika sa traženim osobinama.

Slučaj n=2: Neka je l proizvoljna prava koja prolazi kroz P1 a ne prolazi kroz P3 i P4. Neka je l proizvoljna prava koja prolazi kroz P2 a ne prolazi kroz P3 i P4. Tada je pp konika sa traženim osobinama.

Slučaj n=3: Pretpostavimo prvo da su P1, P2 i P4 nekolinearne. Neka je p prava kroz P1 i P2. Neka je p proizvoljna prava kroz P3 koja ne prolazi kroz P4. Tada je pp konika sa traženim osobinama. Ako su P1, P2 i P4 kolinearne, za l uzmimo pravu kroz P1 i P4 a za l uzmimo pravu kroz P1 i P3. Opet je pp konika sa traženim osobinama. ◻

Slika 4. Pramen realnih konika koje sadrže četiri date tačke. Bojom su istaknute degenerisane konike.

Jedan od najpoznatijih rezultata algebarske geometrije je Bezuova teorema. Klasično formulisana kao nejednakost, u modernoj geometriji je dobila naredni, jači, oblik.

Teorema 2. Neka je 𝔽 algebarski zatvoreno polje i neka su polinomi F,G𝔽[X,Y,Z] uzajamno prosti. Tada je broj presečnih tačaka (računajući višestrukosti) projektivnih algebarskih krivih 𝒞F i 𝒞G jednak degFdegG.

Dokaz ove teoreme je van domašaja ovog rada. Zbog toga ćemo se zadovoljiti narednim rezultatom koji se može direktno dokazati17.

Posledica 1. Broj presečnih tačaka dve konike u P2 je 4.

Geometrija rešenja polinoma IV stepena

Posmatrajmo redukovanu jednačinu četvrtog stepena x4+px2+qx+r=0 gde p,q,r. Shvatajući koeficijente p,q,r kao kompleksne vrednosti, vidimo da su rešenja navedene jednačine x-koordinate presečnih tačaka afinih konika C1:y2+py+qx+r=0C2:yx2=0

Projektivna zatvorenja krivih C1 i C2 su konike definisane polinomima F1(X,Y,Z)=Y2+pYZ+qXZ+rZ2F2(X,Y,Z)=YZX2 Na osnovu Bezuove teoreme, konike 𝒞1 i 𝒞2 se seku u četiri tačke P1,P2,P3,P4, koje pripadaju afinoj ravni. Kako ove četiri tačke leže na paraboli, one ne mogu biti kolinearne. Po razmatranjima iz prethodne sekcije znamo da je familija konika koje prolaze kroz tačke P1,P2,P3,P4 određena svim tačkama jedne projektivne prave iz P5 koja je ,,razapeta polinomima“ F1 i F2. Sledi da je svaka konika iz ove familije predstavljena polinomom oblika λF1+μF2,(16) gde |μ|+|ν|0. Matrična reprezentacija polinoma λF1+μF2 je 𝐀=[μ0qλ20λpλ+μ2qλ2pλ+μ2rλ].

Matrica 𝐀 je singularna ako je det(𝐀)=14(μ3q2λ3+(p24r)λ2μ+2pλμ2)=0.(17) Deljenjem18 (17) sa λ3/4 dobijamo kubnu jednačinu po promenljivoj ε=μ/λ: ε32pε2+(p24r)εq2=0.(18) Tri rešenja ove jednačine odgovaraju trima singularnim konikama u familiji Π.

Singularne konike iz familije Π su tačno Q1=L12L34, Q2=L13L24 i Q3=L14L23, gde je Lij prava koja prolazi kroz tačke Pi i Pj. Prava Lij je (u afinoj ravni) određena polinomom Y(xi+xj)X+xixj=0. te su konike Q1, Q2 i Q2 određene polinomima q1=(Y(x1+x2)X+x1x2)(Y(x3+x4)X+x3x4)=Y2+(x1x2+x3x4)Y+(x1+x2)(x3+x4)X2+qX+r=F1(x1+x2)(x3+x4)F2(19) q2=F1(x1+x3)(x2+x4)F2(20) q3=F1(x1+x4)(x2+x3)F2(21)

Upoređivajući (19), (20), (21) sa (16) zaključujemo da su rešenja jednačine (18) ε1=(x1+x2)(x3+x4), ε2=(x1+x3)(x2+x4) i ε3=(x1+x4)(x2+x3) što su rešavači (13) pomnoženi sa 1.

Vidimo da rešavanje rešavajuće kubike odgovara traženju degenerisanih kubika u pramenu Π. Kada su poznate barem dve od tri degenerisane kubike, tada se rešenja originalne jednačine mogu jednostavno dobiti kao abscise presečnih tačaka nađenih konika.

Zaključak

Geometrijsko rešavanje algebarskih jednačina nije nova stvar. Štaviše, značajno pre Kardana i Ferarija matematičari su rešavali probleme pomoću algebarskih krivih. Najpoznatiji je svakako rad arapskog matematičara Omara Hajama koji je geometrijski rešio jednačinu trećeg stepena pomoću konika.

U ovom radu je prikazano rešavanje jednačine četvrtog stepena idejom koja je veoma bliska idejama Hajama i drugih, ali smo ipak morali upotrebiti moderne tehnike (npr. analitičku projektivnu geometriju).

U radu smo se kratko na Lagranževe i druge rešavače i dali smo im jednu geometrijsku interpretaciju19. Pokazali smo da do rešavača i rešavajuće kubike može doći i gemetrisjki, bez potrebe za Ferarijevim postupkom ili teorijom Galoa.

Liteartura

  1. Andrejić, V. 2016. Projektivna geometrija ravni. 2016.
  2. Bewersdorff, J. 2021. Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective, Second Edition. Student Mathematical Library. American Mathematical Society.
  3. Blumenthal, Leonard M. 1927. Lagrange Resolvents in Euclidean Geometry. American Journal of Mathematics 49 (4): 511–22.
  4. Brieskorn, E., H. Knörrer, i J. Stillwell. 2012. Plane Algebraic Curves. Translated by John Stillwell. Modern Birkhäuser Classics. Springer Basel.
  5. Cardano, G., i T. R. Witmer. 1993. Ars Magna Or The Rules of Algebra. Dover Books on Mathematics. Dover.
  6. Dehn, E. 1930. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois. Dover books on advanced mathematics. Columbia University Press.
  7. Faucette, William M. 1996. A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial. The American Mathematical Monthly 103 (1): 51–57.
  8. Horn, R. A., i C. R. Johnson. 2012. Matrix Analysis. Cambridge University Press.
  9. Lagrange, J. L. de. 1770. Réflexions sur la résolution algébrique des équations.
  10. Waerden, B. L. van der. 2013. A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether. Springer Berlin Heidelberg.

  1. Kao što to obično biva, do kompletnog rešenja se dolazilo postepeno tokom decenija rada različitih matematičara. Za kompleksnu i zanimljivu istoriju rešavanja polinomskih jednačina pogledati, na primer, [2] i [10].↩︎

  2. Moramo napomenuti da je pre Lagranža, do sličnih rezultata došao i Aleksandar-Teofil Vandermond. Međutim, Vandermond je rezultate objavio nakon što su Lagranžovi postali poznati u matematičkim krugovima.↩︎

  3. Zaista, svaku jednačinu oblika a3x3+a2x2+a1x+a0=0 možemo svesti na navedeni oblik deljenjem sa a3 a zatim i uvođenjem smene x=ya23a3↩︎

  4. I sam Lagranž je uvideo da njegova tehnika ne prolazi za stepene veće od četiri, ali se nije usudio da formuliše teoremu koju će kasnije dokazati Rufini. Ipak, Lagranžov rad je izuzetno uticao na matematičare poput Rufinija, Abela i Galoe. Pogledati [6] za više o Lagranžovom pristupu kroz teoriju Galoa.↩︎

  5. Koja se može shvatiti kao 1,σ=0↩︎

  6. U suprotnom možemo ponoviti analogne transformacije kao u slučaju kubike.↩︎

  7. Pri ovom svođenju koristi se osobina da ako je Λ=x1+ix2x3ix4 rešavač, tada je to i Λ=x1ix2x3+ix4. Realan izraz ΛΛ ima samo tri vrednosti pri dejstvu 𝕊4. Te tri vrednosti su koreni rešavajuće kubike.↩︎

  8. Zapravo ovaj pristup je ekvivalentan Lagranžovim, jer je Θ1+Θ2=Ξ3, Θ1+Θ3=Ξ2 i Θ2+Θ3=Ξ1.↩︎

  9. Formalno, afini prostor čine skup X, vektorski prostor V i tranzitivno i slobodno dejstvo aditivne grupe V na X. U našem slučaju, X=V=𝔽, i ignorisaćemo formalne detalje nadalje...↩︎

  10. Opštije, nula skup {f1=f2==fk=0}𝔸𝔽n sistema polinoma f1,,fk𝔽[X1,,Xn] nazivamo (afini) algebarski skup.↩︎

  11. Projektivni prostori su homogeni, i beskonačno daleka prava nije drugačija od ostalih projektivnih pravih. Tek u kontekstu utapanja afinog prostora u projektivni možemo govoriti o beskonačno dalekim objektima.↩︎

  12. Za polinom f𝔽[X1,,Xn] kažemo da je homogen ako postoji d tako da za svako λ𝔽 važi f(λX1,,λXn)=λdf(X1,,Xn) Direktno se dokazuje da takav polinom mora biti zbir monoma koji su svi stepena d.↩︎

  13. Ako je F=GH tada je 𝒞F=𝒞G𝒞H.↩︎

  14. Ako je 𝐀 simetrična matrica, tada postoji unitarna matrica 𝐔 takva da je matrica 𝐔𝐀𝐔 simetrična matrica s pozitivnim članovima. Ako ne zahtevamo da je 𝐔 unitarna možemo garantovati da 𝐔𝐀𝐔 ima 0 ili 1 na dijagonali. Videti teoremu 4.4.3 u [8].↩︎

  15. Ovo nas ne iznenađuje mnogo, jer su realne (projektivne) konike homeomorfne realnoj projektivnoj pravi, odnosno sferi S1. Ovde je interesantno spomenuti da su nedegenerisane kubike homeomorfne torusu S1×S1 koji je Rimanova površ roda 1.↩︎

  16. Na engleskom pencil. Iako ne postoji opšteprihvaćena definija pojma, u geometriji izraz pencil se često koristi za neku familiju geometrijskih objekata koja je u potpunosti određena sa dva člana. Takav je slučaj i sa pramenom konika.↩︎

  17. Ideja dokaza je diskusija po slučajevima. U slučaju para degenerisanih konika tvrđenje se svodi na prebrojavanje broja presečnih tačaka četiri projektivne prave. Ako je jedna od konika regularna, tada je možemo parametrizovati sa P1 (videti primer 3), i slučaj svesti na rešavanje sistema kvadratnih jednačina po koordinatama [s,t]P1.↩︎

  18. To možemo učiniti jer ako je λ=0 tada iz (17) sledi da μ=0 što nije moguće jer [λ,μ] predstavlja koordinate jedne konike u familiji Π.↩︎

  19. Za još jednu geometrijsku interpretaciju pogledati i [3].↩︎