Kontraprimeri u diferencijalnom računu
Uvođenje pojma izvoda u srednjoj školi obično se opravdava geometrijskom interpretacijom po kojoj izvod predstavlja koeficijent pravca tangente na funkciju. Primeri s kojima se tada učenici susreću u zadacima gotovo su uvek elementarne funkcije čiji se izvodi „lepo ponašaju“, zbog čega učenici mogu steći nepotpunu sliku o izvodima funkcije.
Naredni kontraprimeri ukazuju na važnost detalja u formulacijama teorema.
Kontraprimeri
Funkcija koja nije izvod nijedne funkcije
Opšte je poznato da je izvod integrala neprekidne funkcije po gornjoj granici jednak primitivnoj funkciji funkcije . Navedeno tvrđenje lako može da navede na to da svaka integrabilna funkcija ima primitivnu. Međutim, ovo nije tačno, jer nije dovoljna samo integrabilnost podintegralne funkcije, već i njena neprekidnost.
Jednostavan primer na kom se ovo vidi je funkcija definisana na sledeći način:
Funkcija ima prekid prve vrste u tački , a kao što je poznato, izvod nikad nema prekid prve vrste. Prema tome, ova funkcija nije izvod nijedne druge funkcije.
Dve funkcije koje imaju isti izvod ali njihova razlika nije konstantna funkcija
Jedna od posledica Lagranžove teoreme je naredno tvrđenje: Ako funkcije i imaju jednake izvode na intervalu , onda se one razlikuju za konstantu na tom intervalu.
Ako su funkcije definisane na uniji disjunktnih intervala i , tada tvrđenje ne mora da važi, što pokazuje ovakav primer: Neka su i definisane na sledeći način:
Obe ove funkcije imaju izvod , ali razlika ove dve funkcije nije konstantna funkcija.
Ova „greška“ posebno dolazi do izražaja prilikom pisanja izraza poput sledećeg:
U gornjem zapisu, jeste konstanta na komponentama povezanosti, ali ne i na čitavom domenu primitivne funkcije.
Diferencijabilna funkcija koja ima ekstremnu vrednost u tački u kojoj njen izvod ne menja znak
Funkcija data sa
dostiže apsolutni minimum za . Izvod funkcije je
Ovaj izvod u svakoj okolini tačke uzima i pozitivnu i negativnu vrednost.
Beskonačno diferencijabilna funkcija koja nije analitička
Svaka analitička funkcija je beskonačno diferencijabilna. Košijev primer pokazuje da obrnuto ne mora da važi. Neka je definisana sa
Funkcija pripada klasi i njeni izvodi su dati sa
gde je polinom . stepena zadat rekurentnom relacijom i uslovom .
Ako bismo pokušali da razvijemo funkciju u Tejlorov red u okolini nule, dobili bismo nula funkciju, što očigledno odstupa od funkcije za pozitivne argumente. Dakle, ova funkcija nije analitička.
Funkcija koja ima parcijalne izvode ali nije diferencijabilna
Za realnu funkciju realne promenljive važi da je diferencijabilna u tački ako i samo ako u toj tački ima izvod. Naredna dva primera ilustruju razliku između diferencijabilnosti funkcije i postojanja njenih parcijalnih izvoda, u slučaju funkcija više promenljivih.
Neka je funkcija data sa
Funkcija je neprekidna u tački i u toj tački ima parcijalne izvode i . Pretpostavimo da je diferencijabilna. Tada bi priraštaj mogao da se napiše kao
Odavde sledi
Međutim, za važi
Dakle, funkcija nije diferencijabilna.
Primetimo da navedena funkcija, osim što ima parcijalne izvode, ima i sve izvode po pravcu. Da bismo se uverili u to, dovoljno je primetiti da izraz
ne zavisi od .
Prekidna funkcija koja ima parcijalne izvode
Postojanje parcijalnih izvoda ne samo da ne povlači diferencijabilnost te funkcije, kao što smo se uverili u prethodnom primeru, već ne povlači ni neprekidnost, o čemu govori ovaj primer.
Neka je funkcija , data sa
Ova funkcija je očigledno prekidna u tački (dovoljno je posmatrati niz ). Ali, ima definisana oba parcijalna izvoda na celom domenu.
Naravno, ako je funkcija diferencijabilna, ona će biti i neprekidna.
Diferencijabilna funkcija koja ima prekidne parcijalne izvode
Za dokazivanje diferencijabilnosti realnih funkcija, ponekad je od koristi sledeća teorema.
Teorema: Neka u nekoj okolini tačke funkcija ima sve parcijalne izvode i neka su oni neprekidni u tački . Tada je diferencijabilna u tački .
Pretpostavke navedene u teoremi su dovoljne ali ne i neophodne, što pokazuje naredni primer:
Neka je funkcija data sa
Funkcija je očigledno neprekidna za , ali je neprekidna i u tački jer
Funkcija je i diferencijabilna u tački , jer
Odavde sledi da je diferencijal u tački nula preslikavanje. Dakle, parcijalni izvodi i postoje u tački , i jednaki su nuli.
Jasno je da je funkcija diferencijabilna na skupu . Na ovom skupu parcijalni izvodi funkcije su
Kako limesi
ne postoje, zaključujemo da su parcijalni izvodi i prekidni u tački .
Diferencijabilna funkcija koja ima različite mešovite izvode
Funkcija data sa
ima parcijalne izvode
Odavde se, po definiciji, dobijaju drugi mešoviti izvodi
Dovoljan uslov za jednakost drugih parcijalnih izvoda, daje sledeća teorema.
Teorema: Neka je otvoren skup. Neka funkcija ima druge mešovite parcijalne izvode
za sve , i neka su u tački ti izvodi neprekidni. Tada su oni i jednaki.
Diferencijabilna funkcija za koju ne važi teorema o srednjoj vrednosti
Za realne funkcije više realnih promenljivih važi sledeće uopštenje Lagranžove teoreme.
Teorema: Neka je otvoren skup, i takav da segment pripada skupu . Ako je funkcija neprekidna u svim tačkama tog segmenta i diferencijabilna u svim tačkama intervala , onda postoji tačka , , takva da važi
Za vektorske funkcije nemoguće je direktno preneti gornju teoremu. Da bismo se uverili u to, posmatrajmo funkciju , zadatu sa . Ako bi teorema o međuvrednosti važila za ovu funkciju, tada bismo imali jednakost
Ali, gornja jednakost ne može biti ispunjena ni za jedno . Prema tome, Lagranžova teorema se ne može direktno proširiti na vektorske funkcije. Ipak, važi sledeća procena.
Teorema: Neka je otvoren skup, neprekidno diferencijabilna funkcija i tačke takve da segment pripada skupu . Tada je
Funkcija za koju ne važi Lajbnicovo pravilo diferenciranja pod integralom
Funkcija data sa
neprekidna je po za svako fiksirano , i neprekidna po za svako fiksirano . Integracijom dobijamo
Odavde sledi da je za svako realno . Kako je funkcija jednaka nuli za , dobijamo da je za svako pozitivno . Sledi
Međutim,
Funkcija nema neprekidan parcijalni izvod po na segmentu , i zbog toga se nije moglo primeniti Lajbnicovo pravilo. Dovoljne uslove za primenu Lajbnicovog pravila daje naredna teorema.
Teorema: Neka je i funkcija . Ako je neprekidna funkcija po za svako i ima neprekidan parcijalan izvod na , tada je funkcija neprekidno diferencijabilna na i važi
Neprekidna funkcija koja nigde nije diferencijabilna
Do sredine 19. veka mnogi matematičari su mislili da svaka neprekidna funkcija može imati samo konačno mnogo tačaka u kojima nije diferencijabilna (navodno je čak i sam Gaus mislio da ovo mora biti slučaj). Godine 1872. Vajerštras je objavio prvi primer neprekidne funkcije koja nije ni u jednoj tački diferencijabilna. Od tada je konstruisano još nekoliko sličnih primera. U narednim redovima data je reprodukcija originalnog Vajerštrasovog primera.
Neka je , i neparan prirodan broj takav da važi . Neka je funkcija zadata sa
Dokažimo da je funkcija neprekidna, ali nije diferencijabilna ni u jednoj tački.
Kako je , članovi gorenavedenog reda su ograničeni sa . Red je apsolutno konvergentan, pa po Vajerštrasovom kriterijumu red uniformno konvergira. Kako su svi članovi reda neprekidne funkcije, i funkcija je neprekidna.
Neka je proizvoljan realan broj. Pokazaćemo da ne postoji. To ćemo uraditi tako što ćemo konstruisati dva monotona niza, opadajući i rastući , koja oba teže ka , a takva da limesi izraza
kad teži beskonačnosti, ne postoje.
Fiksirajmo . Za svako prirodno , možemo odabrati ceo broj takav da važi , gde je . Neka je sada
Kako je i , sledi da niz , odnosno , konvergira ka odozgo, odnosno odozdo.
Red konvergira za svako , pa izraz možemo napisati kao
Označimo ove sume sa i . Prvu od suma možemo proceniti na sledeći način. Svaki od sabiraka ćemo napisati kao
Primenom Lagranžove teoreme o međuvrednosti, dobijamo da je svaki sabirak oblika , gde je između i . Odavde sledi .
Pogledajmo sada sumu
Argument prvog kosinusa u izrazu je za jer je . Kako je neparan broj i ceo broj, sledi da je prvi kosinus jednak .
Argument drugog kosinusa koji figuriše u redu jeste
Koristeći adicionu formulu i činjenicu da , dobijamo
Iz svega ovoga sledi da je
Kako je i , svi članovi sume su negativni, pa možemo proceniti sa
Takođe, i , jer , pa je
Analogno dobijamo da je .
Kombinujući ocene za i , sada možemo da završimo dokaz. Za desni izvod imamo
Kako i , a , sledi da je . Kako kad , sledi da je . Analogno dobijamo da je i .
Primetimo da je svaka parcijalna suma reda beskonačno glatka funkcija. Prema tome, ovaj primer nam pokazuje da se diferencijabilnost ne prenosi ravnomernom konvergencijom.
Nešto jednostavniji primer neprekidne funkcije koja nigde nije diferencijabilna dao je Van der Varden: Neka je periodična funkcija, s periodom , zadana na intervalu na sledeći način
Tada red
određuje neprekidnu funkciju , koja nije diferencijabilna ni u jednoj tački .
Primer koji pokazuje da parcijalni izvod nije količnik diferencijala
Krajem 17. veka nemački matematičar Gotfrid Lajbnic je uveo oznaku za označavanje izvoda zavisne veličine po nezavisnoj veličini . Ostali matematičari su lako usvojili Lajbnicovu oznaku, i ubrzo je nastala i veoma zgodna oznaka za paracijalni izvod nalik na Lajbnicovu. Ipak, naredni primer pokazuje da ova oznaka je samo to – oznaka.
Neka je funkcija takva da su u okolini neke tačke zadovoljeni svi uslovi teoreme o implicitnoj funckciji. Tada nam ta teorema garantuje postojanje diferencijabilnih funkcija , i koja su rešenje jednačine . Pritom važi
Ako bi simboli za parcijalne izvode zaista bili količnici, tada bi gornji izraz imao vrednost 1, što očigledno nije tačno. S druge strane, obični izvodi funkcija jedne promenljive zaista jesu količnici diferencijala (pritom se ovde pod diferencijalom smatra linearna funkcija koja aproksimira odgovarajuću funkciju u odgovarajućoj tački).
Literatura
- Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg, Matematička analiza I
- Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg, Matematička analiza II
- Bernard R. Gelbaum, John M.H. Olmsted, Counterexamples in Analysis