Ojlerove smene i konusni preseci

Švajcarski matematičar Leonard Ojler je opisao smene uz pomoć kojih se integral izraza oblika $R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})$ može svesti na integral racionalne funkcije (gde je $R$ racionalna funkcija dve promenljive). Danas su te smene poznate kao Ojlerove smene.

U literaturi su opisane tri Ojlerove smene, koje se primenjuju u zavisnosti od prirode kvadratnog binoma $ax^2+bx+c$:

• Ako je $a>0$ tada se uzima da je $\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt a x + t$ ili $\sqrt{ax^2+bx+c} = -\sqrt a x + t$
• Ако је $c>0$ tada se uzima da je $\sqrt{ax^2+bx+c} = xt + \sqrt c$ ili $\sqrt{ax^2+bx+c} = xt - \sqrt c$
• Ако је polinom $ax^2+bx+c$ ima realne korene $\alpha \le \beta$ tada se uzima da je $\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-\alpha)t$ ili $\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-\beta)t$.

Kao što vidimo, svaka smena dolazi sa dva izbora, koja su suštinski nebitna (videćemo i zašto).

Ako su ove smene poznate, tada ih je zaista lako primeniti. Na primer, ako je potrebno odrediti integral funkcije $R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})$ pri čemu je $a>0$, tada možemo upotrebiti prvu smenu: $\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt a x + t$. Kvadriranjem dobijamo da je $ax^2+bx+c=ax^2+2\sqrt a xt+t^2$ odnosno da je $x(b - 2\sqrt a t) = t^2 -c$ iz čega sledi da je $$x=\frac{t^2-c}{b -2\sqrt a t} \qquad \mathrm dx=\frac{-\sqrt a t^2 + 2bt-2c\sqrt a}{\left(b -2\sqrt a t\right)^2} \mathrm d t.$$ Sada je $$\int R(x, \sqrt{ax^2 +bx +c}) \, \mathrm dx = \int R\left(\frac{t^2-c}{b -2\sqrt a t} , \sqrt a\frac{t^2-c}{b -2\sqrt a t} + t\right) \frac{-\sqrt a t^2 + 2bt-2c\sqrt a}{\left(b -2\sqrt a t\right)^2} \,\mathrm d t$$ a drugi navedeni integral je naravno integral racionalne funkcije (jer znamo da je kompozicija i proizvod racionalnih funkcija takođe racionalna funkcija). Poslednji integral ne deluje ništa jednostavnije, baš naprotiv, ali za nas je samo važno da je nakon smene pod integralom racionalna funkcija.

Slično se mogu “proveriti” i druge dve smene. Ipak, ostaje otvoreno nekoliko pitanja. Da li postoji još ovakvih smena? Da li postoje odgovarajuće smene za korene ili polinome većeg stepena? Da li je smene potrebno zapamtiti ili postoji intuicija za njihovo uvođenje?

Konusni preseci

Ako sa $y$ označimo veličinu $\sqrt{ax^2+bx+c}$ tada je $$y^2=ax^2+bx+c.$$ Navedeni polinom po promenljivama $x$ i $y$ određuje konusni presek $\mathcal Q$ u Dekartovoj ravni. Tačnije, ako je $F(x,y)=ax^2+bx+c-y^2$, tada je skup nula polinoma $F$ neki od konusnih preseka. Presek ravni i konusa može biti elipsa (uključujući i krug), parabola, hiperbola, tačka, prava ili dve prave (pri čemu poslednja tri slučaja predstavljaju degenerisane preseke pri kojima ravan prolazi kroz vrh konusa).

Korisno primetiti da navedeni polinom određuje konusni presek koji je simetričan o odnosu na $x$ osu jer je $F(x,y)=F(x, -y)$. Ovu činjenicu ćemo više puta iskoristiti u nastavku.

Jednostavnim argumentima koje ovde nećemo navoditi može se pokazati da su od interesa samo nedegenerisani slučajevi (tj, elipsa, parabola i hiperobola). Degenerisani slučajevi nisu od interesa jer se tada funkcija $R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})$ može integraliti elementarnijim smenama. Nedegenerisane konusne preseke $\mathcal Q$ nazivamo konike.

Parametrizacija $t \mapsto (t,\sqrt{at^2 +bt+c})$ predstavlja parametrizaciju polovine konike $\mathcal Q$, polovinu koja se nalazi iznad $x$ ose. Označimo ovu polovinu sa $\Gamma$. Sada možemo zaključiti da se računanje integrala

može shvatiti i kao računanje integrala forme $R(x, y)\, \mathrm dx + 0\,\mathrm dy$ po krivoj $\Gamma$. Naravno, integral forme po krivoj je invarijantan u odnosu na reparametrizacije krive, te je zgodno naći možda neku drugu parametrizaciju krive, za koju će računanje integrala biti jednostavnije. Ojlerove smene predstavljaju upravo takve pogodne parametrizacije, a nastavku ćemo uvideti njihov geometrijski smisao.

Jedna od čestih, i veoma prirodnih, parametrizacija koja se koriste za krive drugog reda, je parametrizacija pomoću presecanja krive sa pravom koja prolazi kroz fiksiranu tačku na krivi. Tačnije, neka je $P_0$ neka fiksirana tačka na konici $\mathcal Q$ određenoj polinomom drugog stepena $F(x,y)$. Neka je $p$ proizvoljna prava koja prolazi kroz $P_0$. Tada iz jednačine prave $p$ možemo izraziti $y$ preko $x$, tj. možemo izraziti $y=f(x)$ (osim u slučaju kada je prava $p$ paralelna sa $y$ osom, ali to možemo zanemariti). Zamenom $y=f(x)$ u $F(x,y)$ dobijamo polinom drugog stepena $F(x, f(x))$ čija rešenja predstavljaju presečne tačke prave $p$ i konike $\mathcal Q$. Kako realni polinom drugog stepena $F(x, f(x))$ ima jedno realno rešenje (koje odgovara tački $P_0$), mora posedovati i drugo realno rešenje (eventualno isto kao i ono prvo), te stoga prava $p$ seče koniku $\mathcal Q$ u još jednoj tački $P$. I obrnuto je očigledno: svaka tačka $P$ na konici određuje jedinstvenu pravu $p$ koja seče koniku u tačkama $P_0$ i $P$ (ako je $P=P_0$ tada je prava $p$ tangenta na $\mathcal Q$ i to odgovara slučaju kada $F(x, f(x))$ ima rešenja koja se podudaraju). Prema tome, sve tačke konike $\mathcal Q$ su u obostrano jednoznačnoj korespondenciji sa svim pravama koje prolaze kroz $P_0$.

Konkretno, neka je $P_0=(x_0, y_0)$ pri čemu je naravno $F(x_0, y_0)= 0$. Jednačina prave koja prolazi kroz $P_0$ može se zapisati kao $y-y_0 = t(x-x_0)$ gde je $t$ neki realni koeficijent koji predstavlja nagib prave. Ako pretpostavimo i da je $P=(x,y)$ presek prave $p$ i konike $\mathcal Q$, tada je i $F(x, y)= 0$. Sada možemo postaviti sistem tri jednačine $$y^2=ax^2+bx+c,\tag{1}$$ $$y_0^2=ax_0^2+bx_0+c,\tag{2}$$ $$y-y_0=t(x-x_0).\tag{3}$$ Oduzimanjem (2) od (1), dobjamo $y^2 -y_0^2 = a(x^2-x_0) + b(x-x_0)$ odnosno $$(y-y_0)(y+y_0) = (x -x_0) (a(x+x_0)+b).\tag{4}$$ Zamenom (3) u (4) dobijamo $t(x-x_0)(y+y_0)=(x -x_0) (a(x+x_0)+b)$. Pod pretpostavkom da je $x\ne x_0$, dolazimo do $$t(y+y_0) = a(x+x_0)+b.\tag{5}$$ Jednačine (3) i (5) čine sistem linearnih jednačina po dve nepoznate. Rešenje ovog sistema je dato sa $$x = \frac{x_0t^2-2y_0t+ax_0+b}{t^2-a}, \tag{6}$$ $$y=\frac{-y_0t^2+(2ax_0+b)t-ay_0}{t^2-a}.\tag{7}$$

Dakle, svaka tačka (osim tačke $(x_0,-y_0)$) konike se može izraziti jednakostima (6) i (7). Prema tome, za pogodno odabranu tačku $P_0$ možemo očekivati da će izrazi biti posebno “lepi”. Pritom $P_0$ može biti bilo koja tačka sa $\mathcal Q$. U nastavku ćemo videti da Ojlerove smene upravo odgovaraju izboru nekih karakterističnih tačaka.

Moguće konike

Pre nego što objasnimo same Ojlerove smene, primetimo sledeću stvar: moguća su tri slučaja $a<0$, $a=0$ ili $a>0$. Mogućnost $a=0$ nećemo u nastavku razmatrati, jer nije relevantna u kontekstu rešavanja integrala: integral se tada jednostavnijom smenom može svesti na integral racionalne funkcije. Ako je $a > 0$, to znači da je $ax^2+bx+c > 0$ za sve $|x|>M$ gde je $M$ neka realna konstanta, pa je i $\sqrt{ax^2+bx+c}$ definisano za $|x|>M$. To znači da je $\mathcal Q$ hiperbola (jer samo hiperbola može imati presek sa pravama $x=-m$ i $x=m$, za $m$ proizvoljno veliko). Sa druge strane, ako je $a<0$, tada je izraz $\sqrt{ax^2+bx+c}$ definisan samo na nekom intervalu $[M, N]$, a to znači da $\mathcal Q$ mora biti elipsa.

Koristeći i ranije navedenu činjenicu da je $\mathcal Q$ simetrična u odnosu na $x$ osu, dobijamo preciznu klasifikaciju mogućih “oblika” konike $\mathcal Q$:

Druga Ojlerova smena

Počnimo prvo od druge Ojlerove smene jer je u nekom smislu najjednostavnija. Ova smena odgovara slučaju kada se za $P_0$ uzme jedan od preseka konike sa $y$ osom, tj. $$P_0=(0, y_0)=(0,\pm\sqrt{a0^2+b0+c})=(0,\pm\sqrt{c}).$$

Naravno, uslov postojanja ovakvog preseka je da je $c\ge 0$, što je upravo uslov druge Ojlerove smene.

Pretpostavimo na trenutak da smo odabrali da je $P_0=(0,-\sqrt c)$. Prava koja prolazi kroz tačku $P_0$ ima oblik $y=tx-\sqrt c$. Ako koeficijent nagiba $t$ prođe kroz sve realne brojeve, tada će i prava $p$ proći kroz sve tačke konike $\mathcal Q$ (osim tačke $(0,\sqrt c)$), pa samim tim će prava $p$ proći kroz sve tačke gornje polovine konike $\Gamma$ (osim tačke $(0,\sqrt c)$). Presek prave $p$ i skupa $\Gamma$ je rešenje sistema $$x = x,$$ $$\sqrt{ax^2+bx+c} = tx - \sqrt c.$$ Prva jednačina je tautologija, dok je druga jednačina baš druga Ojlerova smena.

Sa druge strane, ako odaberemo $P_0=(0,\sqrt c)$ tada je prava $p$ data sa $y=tx+\sqrt c$ i prolazi kroz svaku tačku skupa $\Gamma$. U ovom slučaju, smena glasi $y = tx + \sqrt c$.

Naravno, jedna tačka ne utiče na vrednost integrala, te stoga možemo smatrati da su obe varijante smene ekvivalentne.

Treća Ojlerova smena

Treća Ojlerova smena se dobija ako se za $P_0$ uzme jedna od tačaka preseka $\mathcal Q$ sa $x$ osom. Za takve tačke važi da je $y=0$, odnosno $\sqrt{ax^2+bx+c} = 0$, odnosno $ax^2+bx+c = 0$. Prema tome, ove tačke odgovaraju korenima $\alpha \le \beta$ polinoma $ax^2+bx+c$. I naravno, tražene tačke postoje ako i samo ako navedeni polinom ima realne nule, što je uslov treće Ojlerove smene.

Ako za $P_0$ uzmemo tačku $(\alpha, 0)$, tada je prava $p$ data jednačinom $y=(x-\alpha) t$. Ako $t$ prođe kroz sve realne brojeve, tada će i $p$ proći kroz sve tačke konike $\mathcal Q$, pa samim tim i kroz sve tačke skupa $\Gamma$. Presek prave $p$ i skupa $\Gamma$ je rešenje sistema $$x=x,$$ $$\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-\alpha) t.$$ Druga jednačina je treća Ojlerova smena.

Uzimanjem $(\beta, 0)$ za $P_0$ dobijamo drugu varijantu treće Ojlerove smene tj. $$\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-\beta) t.$$

Prva Ojlerova smena

Kao što smo videli u analizi gore, uslov prve Ojlerove smene ($a>0$) nam zapravo govori da je $\mathcal Q$ hiperbola. Stoga nadalje pretpostavljamo da je $\mathcal Q$ hiperbola.

Svaka hiperbola poseduje par asimptota, tj. pravih $a_1$ i $a_2$, koje ne seku hiperbolu ali im se hiperbola približava "u beskonačnosti". U geometriji koju smo obrađivali u osnovnoj i srednjoj školi (takozvanoj afinoj geometriji), pojam beskonačno daleke tačke ne postoji. Međutim, u proširenju afine geometrije, takozvanoj projektivnoj geometriji, postoje beskonačno daleke tačke. Štaviše projektivna ravan je upravo afina ravan na koju je dodata beskonačno daleka prava $l_\infty$ čije su sve tačke beskonačno daleke.

U projektivnoj ravni hiperbola $\mathcal Q$ seče beskonačno daleku pravu $l_\infty$ u dve beskonačno daleke tačke. U tim beskonačno dalekim tačkama hiperbolu seku i njene asimptote koje su tangente na hiperbolu. Neka je $S_1 = \mathcal Q \cap a_1$ i $S_2 = \mathcal Q \cap a_2$. Svaka prava (afine ravni) koja prolazi kroz $S_1$ paralelna je sa $a_1$ (upravo zato često kažemo da se paralelne prave seku u beskonačno dalekoj tački. U slučaju prave $a_1$ svaka prava paralelna sa njom je seče u tački $S_1$). Analogno važi i za $a_2$. Pošto je hiperbola parametizovana sa $t\mapsto(t,\pm\sqrt{at^2+bt+c})$ i pošto se hiperbola asimptotski približava pravi $a_1$ i $a_2$, možemo zaključiti da je pravac (koeficijent nagiba) asimptota hiperbole baš $$\lim_{t\to \infty} \frac{y(t)}{x(t)} = \lim_{t\to \infty} \frac{\pm\sqrt{at^2+bt+c}}{t} = \pm \sqrt a.$$

Bez umanjena opštosti, pretpostavimo da je $\sqrt a$ nagib prave $a_1$. Uzmimo da je $P_0=S_1$. Tada svaka prava koja prolazi kroz tačku $P_0$ ima oblik $y=\sqrt a x + t$ za neko realno $t$ (jer je paralelna sa $a_1$). Kako je $a_1$ tangenta u $P_0$ na $\mathcal Q$, ostale prave koje prolaze kroz $P_0$ nisu tangente te seku koniku u još jednoj tački $P$. Naravno i obrnuto je tačno, svaka tačka konike leži na jedinstvenoj pravoj paralelnoj sa $a_1$. Ovim je uspostavljena korespodencija između tačaka konike, i pravih iz pramena paralenih sa $a_1$. Kako je jednačina svake prave iz tog pramena oblika $y=\sqrt a x + t$, dobijamo presek određen sa $$x=x,$$ $$\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt a x + t.$$

Druga jednačina je prva Ojlerova smena. Druga varijanta prve Ojlerove smene odnosi se na asimptotu čija jednačina je oblika $y=-\sqrt a x + t$. Naravno, kada $t$ prođe kroz sve realne brojeve, tada će i prave $y=\sqrt a x + t$ i $y=-\sqrt a x + t$ proći kroz sve tačke konike $\mathcal Q$.