Slučajna šetnja
U nastavku je data simulacija čestica koje nasumično lutaju gore-dole po pravi. Svaka čestica u svakom trenutku može da se da se popne za \(1\) s verovatnoćom \(p\), ili da se spusti dole za \(1\) s verovatnoćom \(1-p\).
Broj eksperimenata (čestica) | (1 - 10.000) |
Broj koraka u eksperimentu | (10 - 10.000) |
Verovatnoća \(p\) (u procentima) | (0 - 100) |
Trajektorije svih čestica:
Distribucija krajnjih pozicija:
Statistika:
\(\mathrm E \left(S_n\right)\) | \(\sigma \left(S_n\right)\) | \(\min S_n\) | \(\max S_n\) | |
Eksperiment | ||||
Model (vidi dole) |
Matematički model
Kao što smo već opisali, u svakom koraku pozicija čestica se povećava za \(1\) s verovatnoćom \(p\), odnosno smanjuje za \(1\) s verovatnoćom \(1-p\). Neka je \(Z_i\) slučajna promenljiva koja opisuje promenu položaja čestice u \(i\)-tom koraku. Tada je zakon raspodele promenljive \(Z_i\) \[\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1-p & p\end{pmatrix}.\]
Ako je pozicija čestica \(0\) na početku eksperimenta, tada je njena pozicija posle \(n\) koraka data slučajnom promenljivom \(S_n = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n\). Odavde dobijamo da je očekivanje promenljive \(S_n\) dato sa \[\mathrm E \left(S_n\right) = \sum_{i=1}^n \mathrm E \left(Z_i\right) = n\left(2p-1\right).\] Specijalno, ako je \(p=0.5\) tada je \(\mathrm E \left(S_n\right) = 0.\)
Kako su za \(1\le i\lt j \le n\), slučajne promenljive \(Z_i\) i \(Z_j\) nezavisne, važi \(\mathrm E \left(Z_i Z_j\right) = \mathrm E \left(Z_i\right) \mathrm E \left(Z_j\right).\) Sada lako možemo izračunati disperziju (varijansu) veličine \(S_n:\) \[\begin{aligned}\mathrm{D}\left(S_n\right) &= \mathrm E \left(S^2_n\right) - \mathrm E ^2\left(S_n\right) \\ &= \mathrm E \left(\sum_{i=1}^n Z_i^2 + \sum_{1\le i\ne j\le n} Z_i Z_j \right) - \left(n\left(2p-1\right)\right)^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \mathrm E \left(Z_i^2\right) + \sum_{1\le i\ne j\le n} \mathrm E \left(Z_i\right) \mathrm E \left(Z_j\right) - n^2\left(2p-1\right)^2 \\ &= n+2n\left(n-1\right)\left(2p-1\right)^2 - n^2\left(2p-1\right)^2 \\ &= 4np(1-p).\end{aligned}\] Specijalno, ako je \(p=0.5\) tada je \(\mathrm{D}\left(S_n\right) = n.\)