Zmijica

U nastavku su navedena pravila igrice, i objašnjeni su matematički koncepti u igrici. Igricu možete igrati klikom na narednu sliku.

Pravila

Ova igra je smeštena u fundamentalnom poligonu realne projektivne ravni. Kako je projektivna ravan neorijentabilna, naša zmijica može neprekidno promeniti svoju orijentaciju na svom putu. Orijentacija zmijice je prikazana bojom njenih očiju (možemo zamišljati da je jedno zmijino oko crveno, a drugo plavo). Ako zmija pojede hranu iste orijentacije, tada zmija poraste za \(0.1\mathrm{m}\), a ako zmija pojede hranu suprotne orijentacije ona se smanjuje za \(0.1\mathrm{m}\). Ako zmija postane kraća od \(0.3\mathrm{m}\), tada se igrica završava. Svaki put kada zmija poraste, ona se malo i ubrza. Sakupljanjem novčića zmija postaje teža, a samim tim se i usporava.

Kada zmija ugrize samu sebe, ona definiše petlju u projektivnoj ravni. Kako je fundamentalna grupa projektivne ravni \(\mathbb{Z}_2\) postoje dve mogućnosti: ako je zmija definisala trivijalnu petlju, igra se završava; u suprotnom, igra se nastavlja ali slobodan deo zmijinog repa otpada i zmijica se skraćuje. Cilj igre je da zmija poraste više od \(10\mathrm{m}\).

Ovo nije najinteresantnija igrica koju ćete igrati ove godine. Ja sam napravio ovu igricu da bih stekao malo intuicije o topologiji projektivne ravni.

Matematički koncepti u igrici

Zamislimo da imamo papirni kvadrat u prostoru. Lepljenjem jednog para suprotnih stranica ovog papirnog kvadrata dobijamo cilindar. Ako sada zalepimo krajeve dobijenog cilindra, dobićemo torus. Ovaj proces je prikazan u prvom redu slike 1. Primetimo da je moguće zapisati instrukcije kako treba lepiti papir, tako što će se stranice kvadrata obeležiti orijentisanim krivama (strelicama). Prilikom lepljenja, dovoljno je samo voditi računa da se strelice lepe u istom smeru. Ovako obeležen kvadrat nazivamo fundamentali poligon torusa (u slučaju komplikovanijih površi, ovaj poligon uopšte ne mora biti kvadrat…)

Klasične igrice sa zmijicom (kao i Pacman igrica) su takođe smeštene u kvadratima čije suprotne stranice su identifikovane u istom smeru. Prema tome, klasične igrice sa zmijicom se zapravo igraju na torusu.

U ovoj igri, kvadrat u kome je igra smeštena je lepljen na drugačiji način: suprotne strane kvadrata su uvijene pre lepljenja. Ovako se, posle prvog lepljenja, dobija Mebijusova traka. Nakon lepljenja ivice Mebijusove trake na samu sebe (u skladu sa orijentacijom strelice), dobijamo ukrštenu kapu, koji je neprekidna slika realne projektivne ravni, i seče sama sebe po duži. Ovo lepljenje je prikazano u drugom redu slike 1. Realna projektivna ravan ne može biti utopljena (smeštena bez samopreseka) u trodimenzionalni Euklidski prostor, pa će zbog toga svaka njena neprekidna slika imate neke tačke samopreseka.

Kakve su to tačno neorijentabilne površi? Za površ u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru kažemo da je orijentabilna ako možemo odabrati konzistentan izbor vektora normale u svakoj tački. Za razliku od toga na neorijentabilnim površima je nemoguće načiniti takav izbor. Zbog toga je i nemoguće pričati o različitim stranama neorjentabilne površi: sa svake strane površi možemo neprekidnim pomeranjem doći na suprotnu stranu površi. Najjednostavnija neorijentabilna površ je Mebijusova traka. Kako ukrštena kapa sadrži neorijentabilnu traku, ukrštena kapa ne može i sama biti orijentabilna. Štaviše neka površ može biti orijentabilna ako i samo ako ne sadrži podskup koji je homeomorfan Mebijusovoj traci.

Postoji još jedan matematički aspekt ove igrice: homotopija. Pretpostavimo da imamo neki prostor \(X\) i u njemu dve krive \(f\) i \(g\) (npr. dve krive na sferi). Neformalno govoreći, za krive \(f\) i \(g\) kažemo da su homotopne ako neprekidno možemo izdeformisti krivu \(f\) tako da dobijemo krivu \(g\). Ako su krive \(f\) i \(g\) homotopne, pišemo \(f\simeq g\). Pošto je \(\simeq\) relacija ekvivalencije, sve krive u prostoru \(X\) se dele na klase ekvivalencije. Sa \(\left[f\right]\) označavamo homotpsku klasu krive \(f\).

U topologiji, veoma je interesantno proučavati homotopske klase petlji (zatvorenih krivih). Da bismo govorili o petljama, odaberimo jednu baznu tačku \(x_0\) u prostoru \(X\). Sve petlje o kojima budemo govorili počinjaće i završavaće se u tački \(x_0\).

Na skupu svih petlji možemo definisati binarnu operaciju \(*\) na sledeći način: putujući duž petlje \(g*f\), prvo putujemo duž petlje \(f\), a nakon što stignemo u baznu tačku \(x_0\), put nastavljamo duž petlje \(g\). Ova operacija se lepo slaže sa homotopijom: ako je \(f_1\simeq f_2\) i \(g_1\simeq g_2\), tada je \(g_1*f_1\simeq g_2*f_2\). Ovo nam omogućava da korektno definišemo operaciju \(*\) na skupu svih homotopskih klasa.

Jedan važan rezultat topologije kaže da, pod nekim slabim pretpostavkama o prostoru \(X\), skup svih homotopskih klasa petlji, zajedno sa operacijom \(*\) je grupa, i da ta grupa ne zavisi od izbora bazne tačke \(x_0\). Ovu grupu nazivamo fundamentalna grupa prostora \(X\). U fundamentalnoj grupi, neutralni element je homotpska klasa svih petlji koje se mogu stegnuti u tačku (klasa takozvanih trivijalnih petlji), a inverz elementa \(\left[f\right]\) je element \(\left[f^{-1}\right]\), gde je \(f^{-1}\) obrnuto usmerena petlja \(f\).

Kada zmija u igrici zagrize sama sebe, ona definiše jednu petlju u projektivnoj ravni. Fundamentalna grupa realne projektivne ravni ima dva elementa: trivijalan i netrivijalan element. Ako je zmija definisala trivijalan element, igra se završava. U suprotnom, igra se nastavlja ali se zmija potencijalno skraćuje. Na Vama je da pronađete kako izgledaju netrivijalne petlje u projektivnoj ravni.