Kompleksna sfera

Dobro je poznato da skup svih tačaka \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) koje zadovoljavaju jednačinu \[x^2+y^2-1=0\tag{1}\] čini krug (tj. jednodimenzionu sferu \(S^1\) utopljenu u \(\mathbb R^2\)) centriran u koordinatnom početku i sa poluprečnikom \(1\).

Prirodno se nameće sledeće pitanje: Kakvu varijetu određuje polinom iz (1) u \(\mathbb C^2\)? Drugim rečima, kakav geometrijski objekat \(F\subset\mathbb C^2\) određuju nule kompleksnog polinoma \(P(z_1,z_2)=z_1^2+z^2-1.\)

Ako je \(P(z_1,z_2)=0\) za kompleksne brojeve \(z_1=x+iy\) i \(z_2=z+iw\), tada važe jednakosti \[\begin{aligned}\Re\left(z_1^2+z_2^2\right)&=1, \\ \Im\left(z_1^2+z_2^2\right) &= 0,\end{aligned}\] odnosno \[x^2-y^2+z^2-w^2=1 \\ xy+zw=0.\tag{5}\]

Iako je \(F\) podskup od \(\mathbb C^2\), možemo ga na prirodan način "videti" i kao podskup od \(\mathbb{R}^4\). Na taj način, vidimo da jednačine (5) zadaju dva nezavisna uslova za koordinate skupa \(F\) u 4-dimenzionom prostoru. Prema tome, skup \(F\) je površ¹.

Kako nemamo razvijenu intuiciju za četiri dimenzije, ovu površ možemo videti samo kroz dvodimenzionalne i trodimenzionalne preseke. U nastavku ćemo odrediti preseke površi \(F\) sa trodimenzionalnim prostorom \(w=\lambda\) za \(\lambda\in \mathbb{R}\). U tom slučaju jednačine (5) postaju \[x^2-y^2+z^2=1+\lambda^2\tag{6}\] \[xy=-\lambda z.\tag{7}\] odakle vidimo da se \(F\cap\left\{w=\lambda\right\}\) nalazi u presku jednogranog hiperboloida i hiperboličkog paraboloida. Jedan takav presek je prikazan na slici 2.

Da bismo našli parametrizaciju ovog preseka, iz jednačine (7) možemo izraziti \(z\) kada je \(\lambda\ne 0\), odakle zamenom u jednačinu (6) dobijamo da je \(x^2+y^2\left(-1+x^2/\lambda^2\right)=1+\lambda^2\). Rešavanjem po \(y\) dobijamo da je \[y=\pm\sqrt{\frac{\lambda^2}{x^2-\lambda^2}-\lambda^2}.\] Iz jednačine (7) sledi da je \[z=\mp\sqrt{\frac{x^2}{x^2-\lambda^2}-x^2}.\] Na ovaj način smo izrazili \(y\) i \(z\) koordiante preko \(x\) koordinate, zbog čega krivu \(F\cap\left\{w=\lambda\right\}\) možemo parametrizovati na sledeći način: \[{\bold r}\left(t\right)=\left(t,\pm\sqrt{\frac{\lambda^2}{t^2-\lambda^2}-\lambda^2},\pm\sqrt{\frac{t^2}{t^2-\lambda^2}-t^2}\right).\tag{8}\]

U slučaju kada je \(\lambda=0\), jednačina (7) predstavlja uniju dve ravni, pa je je presek \(F\cap\left\{w=0\right\}\) unija kruga i hiperbole (videti sliku 3). Krug koji se nalazi u tom preseku je zapravo krug koji određuje polinom \(x^2+y^2-1\) u realnoj ravni.

Parametrizaciju (8) možemo iskoristiti da nađemo parametrizaciju projekcije cele površi \(F\) na trodimenzionalni prostor. Dovoljno je samo da i parametar \(\lambda\) shvatimo kao promenljivu. Na taj način dobijamo sledeću parametrizaciju³ površi \[{\bold r}\left(u,v\right)=\left(u,\pm\sqrt{\frac{v^2}{u^2-v^2}-v^2},\pm\sqrt{\frac{u^2}{u^2-v^2}-u^2}\right).\tag{9}\] Ova površ je prikazana na slici 4.

Deo površi \(F\) možemo videti i kao grafik jedne grane kompleksne funkcije \(z_2=\sqrt{1-z_1^2}\) kako je prikazano na slici 5. Na toj slici svaka tačka \(z_1\) je obojena bojom koju ima tačka \(z_2=f(z_1)\) pri standardnom⁴ HSV bojenju kompleksne ravni.

Na ovaj način je određena slika varijeta \(F\) pri projekciji \(\left(x,y,z,w\right)\mapsto \left(x,y,z\right)\). Zbog simetričnosti jednačina (6) i (7), jasno je da će se ista površ (do na preoznačavanje koordinata) dobiti i pri projekciji \(\left(x,y,z,w\right)\mapsto \left(x,z,w\right)\). Međutim, pri projekcijama \(\left(x,y,z,w\right)\mapsto \left(x,y,w\right)\) i \(\left(x,y,z,w\right)\mapsto \left(y,z,w\right)\) dobijaju se sasvim drugačije površi. Na primer, u prvom slučaju dobijamo parametrizaciju: \[{\bold r}\left(u,v\right)=\left(u,\pm\sqrt{v^2-\frac{v^2}{u^2-v^2}},\pm\sqrt{u^2-\frac{u^2}{u^2-v^2}}\right).\]

Za kraj, primetimo da kružnica \(S^1\) utopljena u kompleksnu ravan \(\mathbb{C}\) ne može biti nula skup ni jednog polinoma iz \(\mathbb{C}[z_1]\), iako jeste nula skup u \(\mathbb{R}^2\) polinoma iz \(\mathbb{R}[x_1,x_2]\).

1. Pojam realne površi odgovara pojmu kompleksne krive. Dakle polinom \(x^2+y^2-1=0\) određuje kompleksnu krivu u \(\mathbb{C}^2\), baš kao što određuje realnu krivu u \(\mathbb R ^2\). ↩
2. Ova parametrizacija nije pogodna za crtnaje u programima zbog računske greške koja se pravi prilikom deljenja kao i zbog neuobičajnog oblika domena (poznati programi za crtanje površi kao što su Wolphram Mathematica, GeoGebra, gnuplot, itd... ne mogu sami da prevaziđu ove probleme). ↩
3. Pri ovom bojenju kompleksne ravni, tačkama se dodeljuje ton boje u zavisnosti argumenta te tačke, a nijansa tog tona (tamnije/svetlije) u zavisnosti od modula te tačke. ↩